Eenheid Vector

In wiskunde, a eenheid Vector in een genormeerde vectorruimte is een vector (Vaak a ruimtelijke vector) van lengte 1. Een eenheidsvector wordt vaak aangegeven door een kleine letter met een circumflex, of "hoed", zoals in ${\ DisplayStyle {\ hat {\ Mathbf {v}}}}$ (uitgesproken als "V-hat").

De voorwaarde Richtingsvector, gewoonlijk aangeduid als d, wordt gebruikt om een eenheidsvector te beschrijven die wordt gebruikt om te vertegenwoordigen ruimtelijke richting en relatieve richting. 2D ruimtelijke richtingen zijn numeriek equivalent aan punten op de eenheidscirkel en ruimtelijke richtingen in 3D zijn gelijk aan een punt op de bol.

Voorbeelden van twee 2D -richtingvectoren

Voorbeelden van twee 3D -richtingvectoren

De genormaliseerde vector û van een niet-nul vector u is de eenheidsvector in de richting van u, d.w.z.

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}} = {\ frac {\ mathbf {u}} {| \ mathbf {u} |}}}

waar |u| is de norm (of lengte) van u.^[1]^[2] De voorwaarde genormaliseerde vector wordt soms gebruikt als synoniem voor eenheid Vector.

Eenheidsvectoren worden vaak gekozen om de basis van een vectorruimte, en elke vector in de ruimte kan worden geschreven als een lineaire combinatie van eenheidsvectoren.

Orthogonale coördinaten

Cartesiaanse coördinaten

Eenheidsvectoren kunnen worden gebruikt om de assen van een Cartesisch coördinatenstelsel. Bijvoorbeeld de standaard eenheidsvectoren in de richting van de x, y, en z assen van een driedimensionaal Cartesiaans coördinatensysteem zijn

{\ displayStyle \ Mathbf {\ hat {i}} = {\ begin {bMatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bMatrix}}, \, \, \ mathbf {\ hat {j}} = {\ begin {bMatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bMatrix}}, \, \, \ mathbf {\ hat {k}} = {\ begin {bMatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {bMatrix}} }

Ze vormen een reeks onderlinge orthogonaal eenheidsvectoren, meestal aangeduid als een standaardbasis in lineaire algebra.

Ze worden vaak aangeduid met behulp van gemeenschappelijke vectornotatie (bijv. i of ${\ DisplayStyle {\ vec {\ imath}}}$ ) in plaats van standaard eenheidsvectornotatie (bijv. ${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {\ imath}}}$ ). In de meeste contexten kan worden aangenomen dat dat i, j, en k, (of ${\ DisplayStyle {\ vec {\ imath}},}$ ${\ DisplayStyle {\ vec {\ jMath}},}$ en ${\ DisplayStyle {\ vec {k}}}$ ) zijn versoren van een 3-D Cartesiaans coördinatensysteem. De notaties ${\ displayStyle (\ Mathbf {\ hat {x}}, \ mathbf {\ hat {y}}, \ mathbf {\ hat {z}})}$ , ${\ displayStyle (\ Mathbf {\ hat {x}} _ {1}, \ mathbf {\ hat {x}} _ {2}, \ mathbf {\ hat {x}}} _ {3})}}$ , ${\ displayStyle (\ Mathbf {\ hat {e}} _ {x}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {y}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {z})}}$ , of ${\ displayStyle (\ Mathbf {\ hat {e}} _ {1}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {2}, \ mathbf {\ hat {e}} _ _ {3})}}$ , met of zonder hoed, worden ook gebruikt,^[1] vooral in contexten waar i, j, k kan leiden tot verwarring met een andere hoeveelheid (bijvoorbeeld met inhoudsopgave symbolen zoals i, j, k, die worden gebruikt om een element van een set of array of reeks variabelen te identificeren).

Wanneer een eenheidsvector in de ruimte wordt uitgedrukt in Cartesiaanse notatie als een lineaire combinatie van i, j, k, de drie scalaire componenten kunnen worden aangeduid als Richting Cosinus. De waarde van elke component is gelijk aan de cosinus van de hoek gevormd door de eenheidsvector met de respectieve basisvector. Dit is een van de methoden die worden gebruikt om de oriëntatie (hoekpositie) van een rechte lijn, segment van rechte lijn, georiënteerde as of segment van georiënteerde as (vector).

Cilindrische coördinaten

De boom orthogonaal Eenheidsvectoren die geschikt zijn voor cilindrische symmetrie zijn:

${\ DisplayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}}}$ (Ook aangewezen ${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {e}}}$ of ${\ DisplayStyle {\ boldsymbol {\ hat {s}}}}$ ), die de richting weergeeft waarlangs de afstand van het punt van de symmetrieas wordt gemeten;
${\ DisplayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$ , het weergeven van de richting van de beweging die zou worden waargenomen als het punt tegen de klok in zou draaien om de symmetrieas;
${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {z}}}$ , die de richting van de symmetrieas weergeeft;

Ze zijn gerelateerd aan de Cartesiaanse basis ${\ DisplayStyle {\ hat {x}}}$ , ${\ DisplayStyle {\ hat {y}}}$ , ${\ DisplayStyle {\ hat {z}}}$ door:

{\ displayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} = \ cos (\ varphi) \ mathbf {\ hat {x}} +\ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}}}}

{\ displayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} =-\ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {x}} +\ cos (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}}}}

{\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {z}} = \ Mathbf {\ hat {z}}.}

De vectoren ${\ DisplayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}}}$ en ${\ DisplayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$ zijn functies van ${\ DisplayStyle \ Varphi,}$ en zijn niet constant in richting. Bij het differentiëren of integreren van cilindrische coördinaten moeten deze eenheidsvectoren zelf ook worden gebruikt. De derivaten met betrekking tot ${\ DisplayStyle \ varphi}$ zijn:

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \ Mathbf {\ hat {y}} = {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \ Mathbf {\ hat {y}} =-{\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}}

{\ displayStyle {\ frac {\ partial \ mathbf {\ hat {z}}} {\ partial \ varphi}} = \ mathbf {0}.}

Bolvormige coördinaten

De eenheidsvectoren die geschikt zijn voor sferische symmetrie zijn: ${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {r}}}$ , de richting waarin de radiale afstand tot de oorsprong toeneemt; ${\ DisplayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$ , de richting waarin de hoek in de x-y vlak tegen de klok in van het positieve x-Axis neemt toe; en ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$ , de richting waarin de hoek vanuit het positieve z Axis neemt toe. Om de redundantie van representaties te minimaliseren, de polaire hoek ${\ DisplayStyle \ theta}$ wordt meestal genomen om tussen nul en 180 graden te liggen. Het is vooral belangrijk om de context op te merken van elk geordend triplet geschreven in bolvormige coördinaten, als de rollen van ${\ DisplayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$ en ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$ worden vaak omgekeerd. Hier, de Amerikaanse "fysica" -conventie^[3] is gebruikt. Dit verlaat de azimutale hoek ${\ DisplayStyle \ varphi}$ hetzelfde gedefinieerd als in cilindrische coördinaten. De Cartesiaans Relaties zijn:

\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\ cos \ theta \ mathbf {\ hat {z}}

{\ DisplayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} = \ cos \ theta \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} +\ cos \ theta \ sin \ sin \ sin \ mathbf {\ hoed} } -\ sin \ theta \ mathbf {\ hat {z}}}

{\ displayStyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} =-\ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} +\ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {y}}}}

De sferische eenheidsvectoren zijn van beide afhankelijk ${\ DisplayStyle \ varphi}$ en ${\ DisplayStyle \ theta}$ , en daarom zijn er 5 mogelijke niet-nul derivaten. Zie voor een meer volledige beschrijving Jacobiaanse matrix en determinant. De niet-nul derivaten zijn:

{\ displayStyle {\ frac {\ partial \ mathbf {\ hat {r}}} {\ partial \ varphi}} =-\ sin \ theta \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {x}}} +\ sin \ sin \ theta \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} = \ sin \ theta {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}}

{\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} -\ sin \ theta \ mathbf {\ hat {z}} = {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\ cos \ theta \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} = \ cos \ theta {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\ sin \ theta \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} -\ cos \ theta \ mathbf {\ hat {z}} = -\ mathbf {\ hat {r}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \ Mathbf {\ hat {y}} = -\ sin \ theta \ mathbf {\ hat {r}} -\ cos \ theta {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}

Algemene eenheid Vectoren

Gemeenschappelijke thema's van eenheidsvectoren komen overal voor natuurkunde en geometrie:^[4]

Eenheid Vector	Nomenclatuur	Diagram
Raakvector naar een curve/fluxlijn	${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {t}}}$	Een normale vector ${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {n}}}$ naar het vlak dat bevat en gedefinieerd door de radiale positie vector ${\ displaystyle r \ mathbf {\ hat {r}}}$ en hoekige tangentiële rotatierichting ${\ displaystyle \ theta {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$ is noodzakelijk zodat de vectorvergelijkingen van hoekbeweging vasthouden.
Normaal naar een oppervlakte -raakvlak/vlak dat radiale positiecomponent en hoekige tangentiële component bevat	${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {n}}}$ Aangaande met Pool coördinaten; ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} = \ mathbf {\ hat {r}} \ times {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$
Binormale vector naar raaklijn en normaal	${\ displayStyle \ Mathbf {\ hat {b}} = \ mathbf {\ hat {t}} \ times \ mathbf {\ hat {n}}}$ ^[5]
Parallel aan een as/lijn	${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {e}} _ {\ parallel}}$	Eén eenheidsvector ${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {e}} _ {\ parallel}}$ Parallel uitgelijnd met een hoofdrichting (rode lijn) en een loodrechte eenheidsvector ${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {e}} _ {\ Bot}}$ bevindt zich in elke radiale richting ten opzichte van de hoofdlijn.
Loodrecht op een as/lijn in een radiale richting	${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {e}} _ {\ Bot}}$
Mogelijke hoekafwijking ten opzichte van een as/lijn	${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {e}} _ {\ Angle}}$	Eenheidsvector bij acute afwijkingshoek φ (inclusief 0 of π/2 rad) ten opzichte van een hoofdrichting.

Kromlijnige coördinaten

Over het algemeen kan een coördinatensysteem uniek worden gespecificeerd met behulp van een aantal van een aantal lineair onafhankelijk eenheidsvectoren ${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {e}} _ {n}}$ ^[1] (Het werkelijke getal is gelijk aan de vrijheidsgraden van de ruimte). Voor een gewone 3-ruimte kunnen deze vectoren worden aangegeven ${\ DisplayStyle \ Mathbf {\ hat {e}} _ {1}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {2}, \ mathbf {\ hat {e}} _ _ {3}}$ . Het is bijna altijd handig om het systeem te definiëren om orthonormaal te zijn en rechtshandig:

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ cdot \ mathbf {\ hat {e}} _ {j} = \ delta _ {ij}}

{\ displayStyle \ Mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ cdot (\ mathbf {\ hat {e}} _ {j} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {k}) = \ varepsilon _ {ijk}}

waar ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ is de Kronecker Delta (dat is 1 voor i = j, en 0 anders) en ${\ DisplayStyle \ varepsilon _ {ijk}}$ is de Levi-Civita-symbool (dat is 1 voor permutaties die worden besteld als IJKen −1 voor permutaties besteld als Kji).

Juiste versies

Een eenheidsvector in ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r} ^{3}}$ heette een Juiste versies door W. R. Hamilton, terwijl hij de zijne ontwikkelde quaternions ${\ DisplayStyle \ Mathbb {H} \ Subset \ Mathbb {r} ^{4}}$ . In feite was hij de grondlegger van de term vector, zoals elke quaternion ${\ DisplayStyle Q = S+V}$ heeft een scalair onderdeel s en een vectorgedeelte v. Als v is een eenheidsvector in ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r} ^{3}}$ , dan het vierkant van v In Quaternions is –1. Dus door Euler's formule, ${\ displaystyle \ exp (\ theta v) = \ cos \ theta +v \ sin \ theta}$ is een versus in de 3-bol. Wanneer θ is een juiste hoek, de Versor is een juiste versus: het scalaire deel is nul en het vectordeel v is een eenheidsvector in ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r} ^{3}}$ .

Zie ook

Aantekeningen

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Eenheid Vector". Mathworld.wolfram.com. Opgehaald 2020-08-19.
^ "Unit Vectors | Brilliant Math & Science Wiki". briljant.org. Opgehaald 2020-08-19.
^ Tevian Dray en Corinne A. Manogue, Sferical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
^ F. Ayres; E. Mendelson (2009). Calculus (Schaum's Ocfouten -serie) (5e ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
^ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vectoranalyse (SCHAUM'S COUTINES -serie) (2e ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

Referenties

G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Wiskundige methoden voor natuurkundigen (5e ed.). Academische pers. ISBN 0-12-059825-6.
Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's contouren: wiskundig handboek van formules en tabellen (2e ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
Griffiths, David J. (1998). Inleiding tot elektrodynamica (3e ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

[:0-1] Weisstein, Eric W. "Eenheid Vector". Mathworld.wolfram.com. Opgehaald 2020-08-19.

[2] "Unit Vectors | Brilliant Math & Science Wiki". briljant.org. Opgehaald 2020-08-19.

[3] Tevian Dray en Corinne A. Manogue, Sferical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).

[4] F. Ayres; E. Mendelson (2009). Calculus (Schaum's Ocfouten -serie) (5e ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.

[5] M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vectoranalyse (SCHAUM'S COUTINES -serie) (2e ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]