Tijdreeksen

Tijdreeksen: willekeurige gegevens plus trend, met best passende lijn en verschillende toegepaste filters

In wiskunde, a tijdreeksen is een reeks van data punten geïndexeerd (of vermeld of grafisch) in tijdvolgorde. Meestal is een tijdreeks een reeks genomen op opeenvolgende gelijke afstandspunten in de tijd. Het is dus een volgorde van discrete tijd gegevens. Voorbeelden van tijdreeksen zijn Heights of Ocean getijden, telt van zonnevlekken, en de dagelijkse slotwaarde van de Dow Jones industrieel gemiddelde.

Een tijdreeks wordt zeer vaak uitgezet via een Hardloop grafiek (wat een tijdelijke is lijngrafiek). Tijdreeksen worden gebruikt in statistieken, signaalverwerking, patroonherkenning, econometrie, Wiskundige financiën, weersvoorspelling, Aardbevingsvoorspelling, elektro -encefalografie, regeltechniek, astronomie, Communicatie -engineeringen grotendeels in een domein van toegepast wetenschap en engineering wat betrekking heeft op tijdelijk afmetingen.

Tijdreeksen analyse omvat methoden voor het analyseren van tijdreeksgegevens om betekenisvolle statistieken en andere kenmerken van de gegevens te extraheren. Tijdreeksen voorspelling is het gebruik van een model- om toekomstige waarden te voorspellen op basis van eerder waargenomen waarden. Terwijl regressie analyse wordt vaak op een zodanige manier gebruikt om relaties tussen een of meer verschillende tijdreeksen te testen, dit type analyse wordt meestal niet "tijdreeksanalyse" genoemd, die in het bijzonder verwijst naar relaties tussen verschillende tijdstippen binnen een enkele serie. Onderbroken tijdreeks Analyse wordt gebruikt om veranderingen in de evolutie van een tijdreeks te detecteren van vóór tot na een interventie die de onderliggende variabele kan beïnvloeden.

Tijdreeksgegevens hebben een natuurlijke tijdelijke bestelling. Dit maakt tijdreeksanalyse verschillend van cross-sectionele studies, waarin er geen natuurlijke ordening van de observaties is (bijvoorbeeld het uitleggen van het loon van mensen op basis van hun respectieve opleidingsniveaus, waar de gegevens van de individuen in elke volgorde kunnen worden ingevoerd). Tijdreeksanalyse verschilt ook van Ruimtelijke gegevensanalyse waarbij de waarnemingen meestal betrekking hebben op geografische locaties (bijv. Verklaring voor huizenprijzen op de locatie en de intrinsieke kenmerken van de huizen). EEN stochastisch Model voor een tijdreeks zal in het algemeen het feit weerspiegelen dat observaties dicht bij elkaar in de tijd nauwer verband zullen houden dan waarnemingen verder uit elkaar. Bovendien zullen modellen van tijdreeksen vaak gebruik maken van de natuurlijke eenrichtingsopdracht van tijd, zodat waarden voor een bepaalde periode op een of andere manier worden uitgedrukt als afkomstig uit eerdere waarden, in plaats van van toekomstige waarden (zie Tijdomkeerbaarheid).

Tijdreeksanalyse kan worden toegepast op echt gewaardeerd, continue gegevens, discreet numeriek gegevens of discrete symbolische gegevens (d.w.z. reeksen van tekens, zoals letters en woorden in de de Engelse taal[1]).

Methoden voor analyse

Methoden voor tijdreeksanalyse kunnen worden onderverdeeld in twee klassen: frequentiedomein Methoden en tijd domein Methoden. De eerste omvat spectrale analyse en Wavelet -analyse; De laatste omvat autocorrelatie en kruising analyse. In het tijdsdomein kunnen correlatie en analyse op een filterachtige manier worden gemaakt met behulp van Geschaalde correlatie, waardoor de noodzaak om in het frequentiedomein te werken te werken.

Bovendien kunnen technieken voor tijdreeksanalyses worden verdeeld in parametrisch en niet parametrisch Methoden. De parametrische benaderingen Neem aan dat de onderliggende Stationair stochastisch proces heeft een bepaalde structuur die kan worden beschreven met behulp van een klein aantal parameters (bijvoorbeeld met behulp van een autoregressief of Model gemiddelde model). In deze benaderingen is de taak om de parameters van het model te schatten dat het stochastische proces beschrijft. Daarentegen, niet-parametrische benaderingen Schat expliciet de covariantie of de spectrum van het proces zonder aan te nemen dat het proces een bepaalde structuur heeft.

Methoden van tijdreeksanalyse kunnen ook worden onderverdeeld in lineair en niet-lineair, en univariate en multivariate.

Paneel data

Een tijdreeks is één type paneel data. Paneelgegevens zijn de algemene klasse, een multidimensionale gegevensset, terwijl een tijdreeksgegevensset een eendimensionaal paneel is (net als een Cross-sectionele gegevensset). Een gegevensset kan kenmerken vertonen van zowel paneelgegevens als tijdreeksgegevens. Een manier om te vertellen is om te vragen wat het ene gegevensrecord uniek maakt uit de andere records. Als het antwoord het tijdgegevensveld is, is dit een kandidaat voor tijdreeksgegevensset. Als het bepalen van een uniek record een tijdgegevensveld vereist en een extra identificatie die niet gerelateerd is aan tijd (bijv. Student -ID, aandelensymbool, landcode), dan is het paneelgegevenskandidaat. Als de differentiatie op de niet-time ID ligt, is de gegevensset een kandidaat voor transversale gegevensset.

Analyse

Er zijn verschillende soorten motivatie en gegevensanalyse beschikbaar voor tijdreeksen die geschikt zijn voor verschillende doeleinden.

Motivatie

In de context van statistieken, econometrie, kwantitatieve financiering, seismologie, meteorologie, en geofysica Het primaire doel van tijdreeksanalyse is voorspelling. In de context van signaalverwerking, regeltechniek en Communicatie -engineering Het wordt gebruikt voor signaaldetectie. Andere toepassingen zijn binnen datamining, patroonherkenning en Machine Learning, waar tijdreeksanalyse kan worden gebruikt voor clustering,[2][3] classificatie,[4] Vraag door inhoud,[5] onregelmatigheidsdetectie net zoals voorspelling.[6]

Verkennende analyse

Tuberculosis incidentie US 1953-2009
Verdere informatie: Verkennende analyse

Een eenvoudige manier om een ​​reguliere tijdreeks te onderzoeken is handmatig met een lijngrafiek. Een voorbeeldgrafiek wordt aan de rechterkant getoond voor de incidentie van tuberculose in de Verenigde Staten, gemaakt met een spreadsheetprogramma. Het aantal gevallen werd gestandaardiseerd tot een tarief per 100.000 en de procentuele verandering per jaar in dit tarief werd berekend. De bijna gestaag dalende lijn laat zien dat de tbc-incidentie in de meeste jaren afnam, maar de procentuele verandering in dit percentage varieerde met maar liefst +/- 10%, met 'pieken' in 1975 en rond de vroege jaren 1990. Het gebruik van beide verticale assen maakt de vergelijking van twee tijdreeksen in één afbeelding mogelijk.

Een studie van bedrijfsgegevensanalisten vond twee uitdagingen voor verkennende tijdreeksanalyse: het ontdekken van de vorm van interessante patronen en het vinden van een verklaring voor deze patronen.[7] Visuele tools die tijdreeksgegevens vertegenwoordigen als Warmmapmatrices kan helpen deze uitdagingen te overwinnen.

Andere technieken zijn:

Curve Fitting

Hoofd artikel: Curve Fitting

Curve Fitting[10][11] is het proces van het construeren van een kromme, of Wiskundige functie, dat past het beste bij een reeks van gegevens punten,[12] mogelijk onderworpen aan beperkingen.[13][14] Curve -fitting kan een van beide omvatten interpolatie,[15][16] waar een exacte pasvorm voor de gegevens vereist is, of gladmaken,[17][18] waarin een "soepele" functie wordt geconstrueerd die ongeveer bij de gegevens past. Een gerelateerd onderwerp is regressie analyse,[19][20] die zich meer richt op vragen over Statistische inferentie zoals hoeveel onzekerheid aanwezig is in een curve die geschikt is voor gegevens waargenomen met willekeurige fouten. Gebrachte krommen kunnen worden gebruikt als hulpmiddel voor gegevensvisualisatie,[21][22] om waarden van een functie af te leiden waar geen gegevens beschikbaar zijn,[23] en om de relaties tussen twee of meer variabelen samen te vatten.[24] Extrapolatie verwijst naar het gebruik van een gepaste curve voorbij de bereik van de waargenomen gegevens,[25] en is onderworpen aan een mate van onzekerheid[26] Omdat het de methode kan weerspiegelen die wordt gebruikt om de curve evenveel te construeren als deze de waargenomen gegevens weerspiegelt.

De constructie van economische tijdreeksen omvat de schatting van sommige componenten voor sommige datums door interpolatie tussen waarden ("benchmarks") voor eerdere en latere datums. Interpolatie is de schatting van een onbekende hoeveelheid tussen twee bekende hoeveelheden (historische gegevens), of conclusies trekken over ontbrekende informatie uit de beschikbare informatie ("lezen tussen de lijnen").[27] Interpolatie is nuttig wanneer de gegevens rond de ontbrekende gegevens beschikbaar zijn en de trend, seizoensgebondenheid en cycli op langere termijn bekend zijn. Dit wordt vaak gedaan met behulp van een gerelateerde serie die bekend staat om alle relevante datums.[28] alternatief polynoominterpolatie of spline interpolatie wordt gebruikt waar stuksgewijze polynoom Functies passen in tijdsintervallen zodat ze soepel in elkaar passen. Een ander probleem dat nauw verband houdt met interpolatie is de benadering van een gecompliceerde functie door een eenvoudige functie (ook wel genoemd regressie). Het belangrijkste verschil tussen regressie en interpolatie is dat polynoomregressie een enkele polynoom geeft die de hele gegevensset modelleert. Spline -interpolatie levert echter een stukjes continue functie op die bestaat uit veel polynomen om de gegevensset te modelleren.

Extrapolatie is het proces van het schatten van, buiten het oorspronkelijke observatiebereik, de waarde van een variabele op basis van zijn relatie met een andere variabele. Het lijkt op interpolatie, die schattingen produceert tussen bekende waarnemingen, maar extrapolatie is onderworpen aan groter onzekerheid en een hoger risico op het produceren van betekenisloze resultaten.

Functiebenadering

Hoofd artikel: Functiebenadering

Over het algemeen vraagt ​​een functie -benaderingsprobleem ons om een functie Onder een goed gedefinieerde klasse die nauw overeenkomt met (benadert ") een doelfunctie op een taakspecifieke manier. Men kan twee belangrijke klassen functieproblemen voor functiebenadering onderscheiden: ten eerste voor bekende doelfuncties, benadering theorie is de tak van numerieke analyse Dat onderzoekt hoe bepaalde bekende functies bijvoorbeeld (bijvoorbeeld, Speciale functies) kan worden benaderd door een specifieke klasse functies (bijvoorbeeld, bijvoorbeeld, polynomen of rationele functies) die vaak gewenste eigenschappen hebben (goedkope berekening, continuïteit, integraal en beperking van waarden, enz.).

Ten tweede, de doelfunctie, roep het aan g, kan onbekend zijn; In plaats van een expliciete formule, slechts een reeks punten (een tijdreeks) van de vorm (x, g(x)) is voorzien. Afhankelijk van de structuur van de domein en codomain van g, verschillende technieken om te benaderen g kan van toepassing zijn. Bijvoorbeeld, als g is een operatie op de echte getallen, technieken van interpolatie, extrapolatie, regressie analyse, en Curve Fitting kunnen worden gebruikt. Als de codomain (bereik of doelset) van g is een eindige set, men heeft te maken met een classificatie Probleem in plaats daarvan. Een gerelateerd probleem van online Tijdreeksbenadering[29] is om de gegevens in one-pass samen te vatten en een geschatte weergave te construeren die verschillende tijdreeksenquery's met grenzen kan ondersteunen bij de slechtste fouten.

Tot op zekere hoogte de verschillende problemen (regressie, classificatie, fitnessbenadering) hebben een uniforme behandeling ontvangen in Statistische leertheorie, waar ze worden gezien als leren onder toezicht problemen.

Voorspelling en voorspelling

In statistieken, voorspelling is een onderdeel van Statistische inferentie. Een bepaalde benadering van dergelijke gevolgtrekking staat bekend als voorspellende gevolgtrekking, maar de voorspelling kan worden uitgevoerd binnen een van de verschillende benaderingen van statistische inferentie. Een beschrijving van de statistieken is inderdaad dat het een manier biedt om kennis over een steekproef van een populatie over te dragen aan de hele populatie, en aan andere gerelateerde populaties, die niet noodzakelijkerwijs hetzelfde is als voorspelling in de tijd. Wanneer informatie over de tijd wordt overgedragen, vaak naar specifieke tijdstippen, staat het proces bekend als voorspelling.

  • Volledig gevormde statistische modellen voor stochastische simulatie Doeleinden, om alternatieve versies van de tijdreeksen te genereren, die vertegenwoordigen wat er zou kunnen gebeuren over niet-specifieke tijdsperioden in de toekomst
  • Eenvoudige of volledig gevormde statistische modellen om de waarschijnlijke uitkomst van de tijdreeksen in de nabije toekomst te beschrijven, gezien de kennis van de meest recente resultaten (voorspelling).
  • Voorspelling op tijdreeksen wordt meestal gedaan met behulp van geautomatiseerde statistische softwarepakketten en programmeertalen, zoals Julia, Python, R, SAS, SPSS en vele anderen.
  • Voorspelling op grootschalige gegevens kan worden gedaan Apache Spark Met behulp van de Spark-TS-bibliotheek, een pakket van derden.[30]

Classificatie

Hoofd artikel: Statistische classificatie

Tijdreekspatroon toewijzen aan een specifieke categorie, bijvoorbeeld identificeer een woord op basis van reeks handbewegingen in gebarentaal.

Signaalschatting

Zie ook: Signaalverwerking en Schattingstheorie

Deze benadering is gebaseerd op harmonische analyse en filteren van signalen in de frequentiedomein de ... gebruiken Fourier -transformatie, en Spectrale dichtheidsschatting, waarvan de ontwikkeling aanzienlijk werd versneld tijdens Tweede Wereldoorlog door wiskundige Norbert Wiener, elektrotechnici Rudolf E. Kálmán, Dennis Gabor en anderen voor het filteren van signalen uit ruis en het voorspellen van signaalwaarden op een bepaald tijdstip. Zien Kalman -filter, Schattingstheorie, en Digitale signaalverwerking

Segmentatie

Hoofd artikel: Tijdreeks segmentatie

Het splitsen van een tijdreeks in een reeks segmenten. Het is vaak het geval dat een tijdreeks kan worden weergegeven als een volgorde van individuele segmenten, elk met zijn eigen karakteristieke eigenschappen. Het audiosignaal van een conference call kan bijvoorbeeld worden verdeeld in stukken die overeenkomen met de tijden waarin elke persoon sprak. In segmentatie van tijdreeksen is het doel om de segmentgrenspunten in de tijdreeks te identificeren en de dynamische eigenschappen die bij elk segment zijn gekoppeld te karakteriseren. Men kan dit probleem benaderen met behulp van Wijzigpuntdetectieof door de tijdreeks te modelleren als een meer geavanceerd systeem, zoals een Markov Jump Linear System.

Modellen

Modellen voor tijdreeksgegevens kunnen vele vormen hebben en anders vertegenwoordigen stochastische processen. Bij het modelleren van variaties in het niveau van een proces zijn drie brede klassen van praktisch belang de autoregressief (AR) modellen, de geïntegreerd (I) modellen, en de voortschrijdend gemiddelde (MA) modellen. Deze drie klassen zijn lineair afhankelijk van eerdere gegevenspunten.[31] Combinaties van deze ideeën produceren Autoregressief voortschrijdend gemiddelde (Arma) en Autoregressief geïntegreerd voortschrijdend gemiddelde (Arima) modellen. De Autoregressief fractioneel geïntegreerd voortschrijdend gemiddelde (Arfima) Model generaliseert de voormalige drie. Uitbreidingen van deze klassen om met vectorgewaardeerde gegevens om te gaan, zijn beschikbaar onder de kop van multivariate tijdreeksmodellen en soms worden de voorgaande acroniemen uitgebreid door een initiële "V" voor "vector" op te nemen, zoals in var voor Vector Autoregressie. Er is een extra reeks uitbreidingen van deze modellen beschikbaar voor gebruik waarbij de waargenomen tijdreeks wordt aangedreven door sommige "dwingende" tijdreeks (die mogelijk geen oorzakelijk effect hebben op de waargenomen serie): het onderscheid uit de multivariate case is dat dat dat dat De forcing -serie kan deterministisch zijn of onder controle van de experimentator. Voor deze modellen worden de acroniemen uitgebreid met een laatste "X" voor "exogeen".

Niet-lineaire afhankelijkheid van het niveau van een serie over eerdere gegevenspunten is van belang, deels vanwege de mogelijkheid om een chaotisch tijdreeksen. Wat nog belangrijker is, echter, empirisch onderzoek kan het voordeel aangeven van het gebruik van voorspellingen die zijn afgeleid van niet-lineaire modellen, ten opzichte van die van lineaire modellen, zoals bijvoorbeeld in Niet -lineaire autoregressieve exogene modellen. Verdere referenties op niet -lineaire tijdreeksanalyse: (Kantz en Schreiber),[32] en (Abarbanel)[33]

Onder andere soorten niet-lineaire tijdreeksmodellen zijn er modellen om de variantieveranderingen in de loop van de tijd weer te geven (heteroskedasticiteit). Deze modellen vertegenwoordigen Autoregressieve voorwaardelijke heteroskedasticiteit (Boog) en de collectie omvat een breed scala aan weergave (Tarcheren, Tarsch, Egarch, Figarch, Cgarch, enz.). Hier zijn veranderingen in variabiliteit gerelateerd aan, of voorspeld door recente eerdere waarden van de waargenomen serie. Dit is in tegenstelling tot andere mogelijke representaties van lokaal variërende variabiliteit, waarbij de variabiliteit kan worden gemodelleerd als worden aangedreven door een afzonderlijk tijdsafhankelijk proces, zoals in een dubbel stochastisch model.

In recent werk aan modelvrije analyses hebben op wavelet transformatie gebaseerde methoden (bijvoorbeeld lokaal stationaire golfjes en wavelet ontbonden neurale netwerken) gunst gekregen. Multischaal (vaak aangeduid als multiresolution) technieken ontbinden een bepaalde tijdreeks, in een poging om tijdafhankelijkheid op meerdere schalen te illustreren. Zie ook Markov schakelen Multifractal (MSMF) Technieken voor het modelleren van volatiliteitsevolutie.

A Hidden Markov -model (HMM) is een statistisch Markov -model waarin het gemodelleerde systeem wordt verondersteld een Markov -proces te zijn met niet -waargenomen (verborgen) toestanden. Een HMM kan worden beschouwd als de eenvoudigste Dynamisch Bayesiaans netwerk. HMM -modellen worden veel gebruikt in spraakherkenning, voor het vertalen van een tijdreeks van gesproken woorden in tekst.

Notatie

Een aantal verschillende notaties worden gebruikt voor tijdreeksanalyse. Een veel voorkomende notatie die een tijdreeks specificeert X dat wordt geïndexeerd door de natuurlijke getallen is geschreven

X = (X1, X2, ...).

Een andere veel voorkomende notatie is

Y = (Yt: t ∈ T),

waar T is de Indexset.

Conditie

Er zijn twee sets voorwaarden waaronder een groot deel van de theorie is gebouwd:

Ergodiciteit impliceert stationariteit, maar het omgekeerde is niet noodzakelijk het geval. Stationariteit wordt meestal geclassificeerd in Strikte stationariteit en grootse of tweede-orde stationariteit. Zowel modellen als toepassingen kunnen onder elk van deze voorwaarden worden ontwikkeld, hoewel de modellen in het laatste geval als slechts gedeeltelijk gespecificeerd kunnen worden beschouwd.

Bovendien kan tijdreeksanalyse worden toegepast waar de serie zijn seizoensgebonden stationair of niet-stationair. Situaties waarin de amplitudes van frequentiecomponenten met de tijd veranderen, kunnen worden aangepakt in Tijdfrequentie-analyse die gebruik maakt van een Tijdfrequente weergave van een tijdreeks of signaal.[34]

Hulpmiddelen

Tools voor het onderzoeken van tijdreeksgegevens zijn onder meer:

Maatregelen

Tijdreekstatistieken of Kenmerken dat kan worden gebruikt voor tijdreeksen classificatie of regressie analyse:[37]

Visualisatie

Tijdreeksen kunnen worden gevisualiseerd met twee categorieën grafiek: overlappende grafieken en gescheiden grafieken. Overlappende grafieken weergeven aller tijden serie op dezelfde lay-out, terwijl gescheiden grafieken ze op verschillende lay-outs presenteren (maar uitgelijnd voor vergelijkingsdoel)[41]

Overlappende grafieken

  • Gevlochten grafieken
  • Lijngrafieken
  • Hellingsgrafieken
  • Gapchartfris

Gescheiden kaarten

  • Horizon -grafieken
  • Verminderde lijngrafiek (kleine veelvouden)
  • Silhouetgrafiek
  • Circulaire silhouetgrafiek

Zie ook

Referenties

  1. ^ Lin, Jessica; Keogh, Eamonn; Lonardi, Stefano; Chiu, Bill (2003). "Een symbolische weergave van tijdreeksen, met implicaties voor streaming -algoritmen". Proceedings van de 8e ACM Sigmod -workshop over onderzoeksproblemen bij datamining en kennisontdekking. New York: ACM Press. pp. 2–11. Citeseerx 10.1.1.14.5597. doen:10.1145/882082.882086. S2CID 6084733.
  2. ^ Liao, T. Warren (2005). "Clustering van tijdreeksgegevens - een onderzoek". Patroonherkenning. Elsevier. 38 (11): 1857–1874. Bibcode:2005Patre..38.1857W. doen:10.1016/j.patcog.2005.01.025.- via Sciencedirect (abonnement vereist)
  3. ^ Aghabozorgi, Saeed; Shirkhorshidi, Ali S.; WAH, Teh Y. (2015). "Tijdreeksclustering-een decennium review". Informatie Systemen. Elsevier. 53: 16–38. doen:10.1016/j.is.2015.04.007.- via Sciencedirect (abonnement vereist)
  4. ^ Keogh, Eamonn J. (2003). "Over de behoefte aan tijdreeks -datminingbenchmarks". Datamining en kennisontdekking. Kluwer. 7: 349–371. doen:10.1145/775047.775062. ISBN 158113567x. S2CID 41617550.- Via ACM Digital Library (abonnement vereist)
  5. ^ Agrawal, Rakesh; Faloutsos, Christos; Swami, Arun (oktober 1993). "Foundations of Data Organisation and Algoritmen". Proceedings of the 4th International Conference on Foundations of Data Organisation and Algoritmen. Internationale conferentie over stichtingen van gegevensorganisatie en algoritmen. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 730. pp. 69–84. doen:10.1007/3-540-57301-1_5. ISBN 978-3-540-57301-2.- via SpringerLink (abonnement vereist)
  6. ^ Chen, Cathy W. S.; Chiu, L. M. (september 2021). "Ordinale tijdreeksvoorspelling van de luchtkwaliteitsindex". Entropie. 23 (9): 1167. Bibcode:2021Entrp..23.1167c. doen:10.3390/e23091167. PMC 8469594. Pmid 34573792.
  7. ^ Sarkar, Advait; Spott, Martin; Blackwell, Alan F.; Jamnik, Mateja (2016). "Visuele ontdekking en modelgestuurde uitleg van tijdreekspatronen". 2016 IEEE Symposium on Visual Languages ​​and Human-Centric Computing (VL/HCC). IEEE: 78–86. doen:10.1109/VLHCC.2016.7739668. ISBN 978-1-5090-0252-8. S2CID 9787931.
  8. ^ Bloomfield, P. (1976). Fourier -analyse van tijdreeksen: een inleiding. New York: Wiley. ISBN 978-0471082569.
  9. ^ Shumway, R. H. (1988). Toegepaste statistische tijdreeksanalyse. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0130415004.
  10. ^ Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.
  11. ^ William M. Kolb. Curve -aanpassing voor programmeerbare rekenmachines. Syntec, Incorporated, 1984.
  12. ^ S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Geavanceerde technieken van populatieanalyse. ISBN0306439972 Pagina 165 (CF. ... Functies zijn vervuld als we een goede tot matige pasvorm hebben voor de waargenomen gegevens.)
  13. ^ Het signaal en de ruis: Waarom zoveel voorspellingen falen, maar sommigen niet. Door Nate Silver
  14. ^ Gegevensvoorbereiding voor datamining: Tekst. Door Dorian Pyle.
  15. ^ Numerieke methoden in engineering met MATLAB®. Door Jaan Kiusalaas. Pagina 24.
  16. ^ Numerieke methoden in engineering met Python 3. Door Jaan Kiusalaas. Pagina 21.
  17. ^ Numerieke methoden voor het passen van curve. Door P. G. Gast, Philip George Guest. Pagina 349.
  18. ^ Zie ook: Vervloekt
  19. ^ Modellen passen bij biologische gegevens met behulp van lineaire en niet -lineaire regressie. Door Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.
  20. ^ Regressieanalyse door Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Pagina 269.
  21. ^ Visuele informatica. Uitgegeven door Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Pagina 689.
  22. ^ Numerieke methoden voor niet -lineaire engineeringmodellen. Door John R. Hauser. Pagina 227.
  23. ^ Methoden van experimentele fysica: Spectroscopy, Deel 13, Deel 1. Door Claire Marton. Pagina 150.
  24. ^ Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Bewerkt door Neil J. Salkind. Pagina 266.
  25. ^ Community -analyse en planningstechnieken. Door Richard E. Klosterman. Pagina 1.
  26. ^ Een inleiding tot risico's en onzekerheid in de evaluatie van milieu -investeringen. Diane Publishing. Pg 69
  27. ^ Hamming, Richard. Numerieke methoden voor wetenschappers en ingenieurs. Courier Corporation, 2012.
  28. ^ Friedman, Milton. "De interpolatie van tijdreeksen door gerelateerde serie. "Journal of the American Statistical Association 57.300 (1962): 729–757.
  29. ^ Gandhi, Sorabh, Luca Foschini en Subhash Suri. "Ruimte-efficiënte online benadering van tijdreeksgegevens: streams, geheugenverlies en out-of-order. "Data Engineering (ICDE), 2010 IEEE 26th International Conference on. IEEE, 2010.
  30. ^ Sandy Ryza (2020-03-18). "Tijdreeksanalyse met Spark" (dia's van een gesprek op Spark Summit East 2016). Databricks. Opgehaald 2021-01-12.
  31. ^ Gershenfeld, N. (1999). De aard van wiskundige modellering. New York: Cambridge University Press. pp.205–208. ISBN 978-0521570954.
  32. ^ Kantz, Holger; Thomas, Schreiber (2004). Niet -lineaire tijdreeksanalyse. Londen: Cambridge University Press. ISBN 978-0521529020.
  33. ^ Abarbanel, Henry (25 november 1997). Analyse van waargenomen chaotische gegevens. New York: Springer. ISBN 978-0387983721.
  34. ^ Boashash, B. (Ed.), (2003) Tijdfrequentiesignaalanalyse en -verwerking: een uitgebreide referentie, Elsevier Science, Oxford, 2003 ISBN0-08-044335-4
  35. ^ Nikolić, D.; Muresan, R. C.; Feng, W.; Singer, W. (2012). "Geschaalde correlatieanalyse: een betere manier om een ​​kruiscorrelogram te berekenen". European Journal of Neuroscience. 35 (5): 742–762. doen:10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x. Pmid 22324876. S2CID 4694570.
  36. ^ a b Sakoe, Hiroaki; Chiba, Seibi (1978). "Dynamisch programmeeralgoritme -optimalisatie voor gesproken woordherkenning". IEEE -transacties over akoestiek, spraak en signaalverwerking. Vol. 26. pp. 43–49. doen:10.1109/TASSP.1978.1163055. S2CID 17900407. {{}}: Ontbreekt of leeg |title= (helpen)
  37. ^ Mormann, Florian; Andrzejak, Ralph G.; Elger, Christian E.; Lehnertz, Klaus (2007). "Voorspelling van aanvallen: de lange en kronkelende weg". Brein. 130 (2): 314–333. doen:10.1093/brain/awl241. Pmid 17008335.
  38. ^ Land, Bruce; Elias, Damian. "Het meten van de 'complexiteit' van een tijdreeks".
  39. ^ [1] Chevyrev, I., Kormilitzin, A. (2016) "Een primer op de kenmerkende methode in machine learning, arxiv: 1603.03788v1 "
  40. ^ Ropella, G. E. P.; Nag, D. A.; Hunt, C. A. (2003). "Gelijkbaarheidsmaatregelen voor geautomatiseerde vergelijking van in silico en in vitro experimentele resultaten". Engineering in Medicine and Biology Society. 3: 2933–2936. doen:10.1109/iembs.2003.1280532. ISBN 978-0-7803-7789-9. S2CID 17798157.
  41. ^ Tominski, Christian; Aigner, Wolfgang. "De TimeViz-browser: een visueel onderzoek naar visualisatietechnieken voor tijdgerichte gegevens". Opgehaald 1 juni 2014.

Verder lezen

Externe links