Subgroep

Euler -diagram tonen
A is een subset van B,,A⊂B, en omgekeerd B is een superset van A,,B⊃A.

In wiskunde, set A is een subgroep van een set B ik val elementen van A zijn ook elementen van B; B is dan een vervangen van A. Het is mogelijk voor A en B gelijk zijn; Als ze ongelijk zijn, dan A is een Juiste subset van B. De relatie van de ene set als een subset van een andere wordt genoemd het opnemen (of soms beheersing). A is een subset van B kan ook worden uitgedrukt als B Inclusief (of bevat) A of A is inbegrepen (of opgenomen) in B.

De subset -relatie definieert een gedeeltelijke volgorde op sets. In feite vormen de subsets van een bepaalde set vorm a Booleaanse algebra onder de subset -relatie, waarin de Doe mee en ontmoet elkaar worden gegeven door kruispunt en unie, en de subset -relatie zelf is de Booleaanse inclusie -relatie.

Definitie

Als A en B zijn sets en elke element van A is ook een element van B, dan:

A is een subgroep van B, aangegeven door ${\ DisplayStyle a \ subseteq b}$ , of gelijkwaardig,
B is een vervangen van A, aangegeven door ${\ displaystyle b \ supseteq A.}$

Als A is een subset van B, maar A is niet Gelijk tot B (d.w.z. Er bestaat ten minste één element van B dat geen element is van A), dan:

A is een juist (of streng) subgroep van B, aangegeven door ${\ displaystyle a \ subsetneq b}$ , of gelijkwaardig,
B is een juist (of streng) vervangen van A, aangegeven door ${\ displaystyle b \ suppsetneq a}$ .

De Lege set, geschreven ${\ DisplayStyle \ {\}}$ of ${\ DisplayStyle \ Varnothing,}$ is een subset van elke set X en een juiste subset van een set behalve zichzelf, de inclusie relatie ${\ DisplayStyle \ subseteq}$ is een gedeeltelijke volgorde op de set ${\ DisplayStyle {\ Mathcal {p}} (s)}$ (de Power Set van S—De set van alle subsets van S^[1]) gedefinieerd door ${\ displaystyle a \ leq b \ iff a \ subseteq b}$ . We kunnen ook gedeeltelijk bestellen ${\ DisplayStyle {\ Mathcal {p}} (s)}$ door omgekeerde set -opname door te definiëren ${\ DisplayStyle a \ leq b {\ text {if en alleen if}} b \ subseteq A.}$

Wanneer gekwantificeerd, ${\ DisplayStyle a \ subseteq b}$ wordt weergegeven als ${\ displaystyle \ forall x \ links (x \ in een \ impliceert x \ in b \ rechts).}$ ^[2]

We kunnen de verklaring bewijzen ${\ DisplayStyle a \ subseteq b}$ Door een bewijstechniek toe te passen die bekend staat als het elementargument^[3]:

Laat sets A en B worden gegeven. Om dat te bewijzen ${\ DisplayStyle a \ subseteq b,}$

stel dat Dat a is een bepaald maar willekeurig gekozen element van een

show Dat a is een element van B.

De geldigheid van deze techniek kan worden gezien als gevolg van Universele generalisatie: de techniek wordt weergegeven ${\ displaystyle c \ in een \ impliceert c \ in b}$ voor een willekeurig gekozen element c. Universele generalisatie impliceert dan ${\ displaystyle \ forall x \ links (x \ in een \ impliceert x \ in b \ rechts),}$ die gelijkwaardig is aan ${\ DisplayStyle a \ subseteq b,}$ zoals hierboven vermeld.

Eigendommen

Een verzameling A is een subgroep van B als en alleen als Hun kruising is gelijk aan A.

Formeel:

{\ DisplayStyle a \ subseteq b {\ text {if en alleen if}} a \ cap b = a.}

Een verzameling A is een subgroep van B Als en alleen als hun vakbond gelijk is aan B.

Formeel:

{\ DisplayStyle a \ subseteq b {\ text {if en alleen if}} a \ cup b = b.}

A eindig set A is een subgroep van B, als en alleen als de kardinaliteit van hun kruising is gelijk aan de kardinaliteit van A.

Formeel:

{\ DisplayStyle a \ subseteq b {\ text {if en alleen if}} | a \ cap b | = | a |.}

⊂ en ⊃ symbolen

Sommige auteurs gebruiken de symbolen ${\ DisplayStyle \ Subset}$ en ${\ DisplayStyle \ Sappset}$ aangeven subgroep en vervangen respectievelijk; dat wil zeggen met dezelfde betekenis als en in plaats van de symbolen ${\ DisplayStyle \ subseteq}$ en ${\ DisplayStyle \ supseteq.}$ ^[4] Voor deze auteurs geldt het bijvoorbeeld voor elke set A Dat ${\ DisplayStyle A \ Subset A.}$

Andere auteurs gebruiken liever de symbolen ${\ DisplayStyle \ Subset}$ en ${\ DisplayStyle \ Sappset}$ aangeven juist (ook strikte) subset genoemd en juist Superset respectievelijk; dat wil zeggen met dezelfde betekenis als en in plaats van de symbolen ${\ DisplayStyle \ subsetneq}$ en ${\ DisplayStyle \ Supsetneq.}$ ^[5] Dit gebruik maakt ${\ DisplayStyle \ subseteq}$ en ${\ DisplayStyle \ Subset}$ analoog aan de ongelijkheid symbolen ${\ DisplayStyle \ leq}$ en ${\ DisplayStyle <.}$ Bijvoorbeeld, als ${\ displaystyle x \ leq y,}$ dan x Kan al dan niet gelijk zijn y, maar als ${\ displaystyle x <y,}$ dan x is absoluut niet gelijk y, en is minder dan y. Evenzo, met behulp van de conventie dat ${\ DisplayStyle \ Subset}$ is de juiste subset, als ${\ DisplayStyle a \ subseteq b,}$ dan A Kan al dan niet gelijk zijn B, maar als ${\ DisplayStyle A \ Subset B,}$ dan A is absoluut niet gelijk B.

Voorbeelden van subsets

De reguliere polygonen vormen een subset van de polygonen

De set a = {1, 2} is een juiste subset van b = {1, 2, 3}, dus beide uitdrukkingen ${\ DisplayStyle a \ subseteq b}$ en ${\ displaystyle a \ subsetneq b}$ zijn waar.
De set d = {1, 2, 3} is een subset (maar niet een juiste subset) van E = {1, 2, 3}, dus ${\ DisplayStyle d \ subseteq e}$ is waar, en ${\ displaystyle d \ subsetneq e}$ is niet waar (onwaar).
Elke set is een subset van zichzelf, maar geen goede subset. (( ${\ DisplayStyle x \ subseteq x}$ is waar, en ${\ DisplayStyle x \ subsetneq x}$ is onwaar voor elke set X.)
De set {x: x is een priemgetal Meer dan 10} is een juiste subset van {x: x is een oneven getal groter dan 10}
De set van natuurlijke getallen is een juiste subset van de set van rationele nummers; Evenzo de reeks punten in een lijnstuk is een juiste subset van de set punten in een lijn. Dit zijn twee voorbeelden waarin zowel de subset als de hele set oneindig zijn, en de subset heeft hetzelfde kardinaliteit (het concept dat overeenkomt met de grootte, dat wil zeggen het aantal elementen, van een eindige set) als het geheel; Dergelijke gevallen kunnen in strijd zijn met iemands eerste intuïtie.
De set van rationele nummers is een juiste subset van de set van echte getallen. In dit voorbeeld zijn beide sets oneindig, maar de laatste set heeft een grotere kardinaliteit (of stroom) dan de eerste set.

Een ander voorbeeld in een Euler -diagram:

A is een juiste subset van B
C is een subset maar geen juiste subset van B

Andere eigenschappen van inclusie

{\ DisplayStyle a \ subseteq b}

en

{\ displaystyle b \ subseteq c}

impliceert

{\ DisplayStyle a \ subseteq C.}

Inclusie is de canonieke gedeeltelijke volgorde, in de zin dat elke gedeeltelijk geordende set ${\ displaystyle (x, \ prequeq)}$ is isomorf naar een verzameling sets besteld door inclusie. De ordinale getallen zijn een eenvoudig voorbeeld: als elke ordinal n wordt geïdentificeerd met de set ${\ displaystyle [n]}$ van alle ordinalen kleiner dan of gelijk aan n, dan ${\ displaystyle a \ leq b}$ als en alleen als ${\ displaystyle [a] \ subseteq [b].}$

Voor de Power Set ${\ DisplayStyle \ OperatorName {\ Mathcal {P}} (s)}$ van een set S, de inclusie gedeeltelijke volgorde is - tot een Bestel isomorfisme-de Cartesiaans product van ${\ displaystyle k = | s |}$ (de kardinaliteit van S) kopieën van de gedeeltelijke volgorde op ${\ DisplayStyle \ {0,1 \}}$ waarvoor ${\ DisplayStyle 0 <1.}$ Dit kan worden geïllustreerd door op te sommen ${\ displaystyle s = \ links \ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {k} \ rechts \},},}$ , en associëren met elke subset ${\ displaystyle t \ subseteq s}$ (d.w.z. elk element van ${\ DisplayStyle 2^{s}}$ ) de k-tuple van ${\ DisplayStyle \ {0,1 \}^{k},}$ waarvan de ide coördinaat is 1 als en alleen als ${\ DisplayStyle S_ {i}}$ is een lid van T.

Zie ook

Referenties

^ Weisstein, Eric W. "Subgroep". Mathworld.wolfram.com. Opgehaald 2020-08-23.
^ Rosen, Kenneth H. (2012). Discrete wiskunde en zijn toepassingen (7e ed.). New York: McGraw-Hill. p.119. ISBN 978-0-07-338309-5.
^ Epp, Susanna S. (2011). Discrete wiskunde met applicaties (Vierde ed.). p. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
^ Rudin, Walter (1987), Echte en complexe analyse (3e ed.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, DHR 0924157
^ Subsets en juiste subsets (PDF), gearchiveerd van het origineel (PDF) op 2013-01-23, opgehaald 2012-09-07

Bibliografie

Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

Externe links

Media gerelateerd aan subsets bij Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. "Subgroep". Wiskunde.

[1] Weisstein, Eric W. "Subgroep". Mathworld.wolfram.com. Opgehaald 2020-08-23.

[2] Rosen, Kenneth H. (2012). Discrete wiskunde en zijn toepassingen (7e ed.). New York: McGraw-Hill. p.119. ISBN 978-0-07-338309-5.

[3] Epp, Susanna S. (2011). Discrete wiskunde met applicaties (Vierde ed.). p. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.

[4] Rudin, Walter (1987), Echte en complexe analyse (3e ed.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, DHR 0924157

[5] Subsets en juiste subsets (PDF), gearchiveerd van het origineel (PDF) op 2013-01-23, opgehaald 2012-09-07

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Set Theory
Overzicht	Set (wiskunde)
Axioma's	Adjunctie Keuze telbaar afhankelijk globaal Constructibiliteit (V = L) Determinatie Extensionaliteit Oneindigheid Beperking van de grootte Het koppelen Power Set Regelmatigheid Unie Martin's axioma Axioma -schema vervanging specificatie
Activiteiten	Cartesiaans product Aanvulling (d.w.z. het verschil instellen) De wetten van de Morgan Disjoint Union Identiteit Kruispunt Power Set Symmetrisch verschil Unie
Concepten Methoden	Kardinaliteit hoofdtelwoord((groot) Klas Constructeerbaar universum Continuümhypothese Diagonaal argument Element Besteld paar tuple Familie Dwingend Één-op-één correspondentie Rangtelwoord Set-builder notatie Transfiniete inductie Venn diagram
Set soorten	Amorf Telbaar Leeg Eindig((erfelijk) Filter baseren onderbasis Ultrafilter Fuzzy Eindeloos (Dedekind-infiniet) Recursief Singleton Subgroep· Vervangen Transitief Ontelbaar Universeel
Theorieën	Alternatief Axiomatisch Naief Cantor's stelling Zermelo Algemeen Principia Mathematica Nieuwe stichtingen Zermelo - Fraenkel von Neumann - Bernays - Gödel Morse - Kelley Kripke - PLATEK Tarski - Grothendieck
Paradoxen Problemen	Russell's paradox Suslins probleem Burali-Forti Paradox
Stel theoretici in	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Thoralf Skolem Willard Quine