Orthonormale basis

In wiskunde, bijzonder lineaire algebra, een orthonormale basis voor een Innerlijke productruimte V met eindig dimensie is een basis voor wiens vectoren zijn ortonormaal, dat wil zeggen, ze zijn allemaal eenheidsvectoren en orthogonaal naar elkaar.[1][2][3] Bijvoorbeeld de standaardbasis voor een Euclidische ruimte is een orthonormale basis, waarbij het relevante binnenste product de punt product van vectoren. De afbeelding van de standaardbasis onder een rotatie of reflectie (of iets Orthogonale transformatie) is ook orthonormaal, en elke orthonormale basis voor ontstaat op deze manier.

Voor een algemene innerlijke productruimte Een orthonormale basis kan worden gebruikt om genormaliseerd te definiëren Orthogonale coördinaten Aan Onder deze coördinaten wordt het binnenste product een puntproduct van vectoren. Aldus vermindert de aanwezigheid van orthonormale basis de studie van een eindig-dimensionaal innerlijke productruimte voor de studie van onder DOT -product. Elke eindig-dimensionale binnenproductruimte heeft een orthonormale basis, die kan worden verkregen vanuit willekeurige basis met behulp van de Gram -Schmidt -proces.

In functionele analyse, het concept van orthonormale basis kan worden gegeneraliseerd tot willekeurig (oneindig-dimensionaal) Binnenproductruimtes.[4] Gegeven een pre-Hilbert-ruimte een orthonormale basis voor is een orthonormale set vectoren met de eigenschap waarin elke vector erin is kan worden geschreven als een oneindige lineaire combinatie van de vectoren in de basis. In dit geval wordt de orthonormale basis soms een Hilbert -basis voor Merk op dat een orthonormale basis in deze zin niet in het algemeen een Hamel Basis, omdat oneindige lineaire combinaties vereist zijn. In het bijzonder de lineaire spanwijdte van de basis moet zijn gespannen in Maar het is misschien niet de hele ruimte.

Als we verder gaan Hilbert -ruimtes, een niet-orthonormale set vectoren met dezelfde lineaire overspanning als orthonormale basis is misschien helemaal geen basis. Bijvoorbeeld, alles vierkant-integreerbare functie op de interval kan worden uitgedrukt (bijna overal) als een oneindige som van Legendre polynomen (een orthonormale basis), maar niet noodzakelijk als een oneindige som van de monomials

Een andere generalisatie is voor pseudo-innerlijke productruimtes, eindige-dimensionale vectorruimtes uitgerust met een niet-gedegenereerde symmetrische bilineaire vorm bekend als de metrische tensor. In een dergelijke basis neemt de metriek de vorm aan met positieve en negatieve.

Voorbeelden

  • Voor , de set vectoren wordt de standaardbasis en vormt een orthonormale basis van met betrekking tot het standaard puntproduct. Merk op dat zowel de standaardbasis als het standaard DOT -product afhankelijk zijn van het bekijken Als het Cartesiaanse product
    Een bewijs: Een eenvoudige berekening laat zien dat de binnenste producten van deze vectoren gelijk zijn aan nul, en dat elk van hun grootten gelijk is aan één, Dit betekent dat is een orthonormale set. Alle vectoren kan worden uitgedrukt als een som van de basisvectoren geschaald
    dus overspanningen en daarom moet een basis zijn. Het kan ook worden aangetoond dat de standaardbasis rond een as door de oorsprong is gedraaid of in een vlak door de oorsprong wordt weergegeven, vormt ook een orthonormale basis van .
  • Voor , de standaardbasis en het innerlijke product zijn op dezelfde manier gedefinieerd. Elke andere orthonormale basis is gerelateerd aan de standaardbasis door een Orthogonale transformatie In de groep O (n).
  • Voor pseudo-euclidische ruimte , een orthogonale basis met metriek In plaats daarvan voldoet als , als , en als . Alle twee orthonormale bases zijn gerelateerd door een pseudo-orthogonale transformatie. In het geval , dit zijn Lorentz -transformaties.
  • De set met waar geeft de exponentiële functie, vormt een orthonormale basis van de ruimte van functies met eindige Lebesgue -integralen, met respect voor de 2-norm. Dit is fundamenteel voor de studie van Fourier -serie.
  • De set met als en anders vormt een orthonormale basis van
  • Eigenfuncties van een Sturm - Liouville Eigenproblem.
  • De kolomvectoren van een orthogonale matrix vorm een ​​orthonormale set.

Basisformule

Als is een orthogonale basis van Dan elk element kan worden geschreven als

Wanneer is orthonormaal, dit vereenvoudigt

en het vierkant van de norm van kan worden gegeven door

Zelfs als is ontelbaar, Slechts telbaar veel termen in deze som zullen niet nul zijn en de uitdrukking is daarom goed gedefinieerd. Deze som wordt ook de Fourier -uitbreiding van en de formule staat meestal bekend als Parseval's identiteit.

Als is een orthonormale basis van dan is isomorf tot In de volgende zin: er bestaat een bijectief lineair kaart zoals dat

Onvolledige orthogonale sets

Gegeven een Hilbert -ruimte en een set van wederzijds orthogonale vectoren in We kunnen de kleinste gesloten lineaire subruimte nemen van bevattend Dan zal een orthogonale basis zijn van die natuurlijk kleiner kunnen zijn dan zelf, een incompleet orthogonale set, of zijn Als het een compleet Orthogonale set.

Bestaan

Gebruik makend van Zorn's Lemma en de Gram -Schmidt -proces (of eenvoudiger goed order- en transfiniet recursie), kan men dat aantonen elk Hilbert -ruimte geeft een orthonormale basis toe;[5] Bovendien hebben twee orthonormale bases van dezelfde ruimte hetzelfde kardinaliteit (Dit kan worden bewezen op een manier die lijkt op die van het bewijs van het gebruikelijke Dimension stelling voor vectorruimten, met afzonderlijke gevallen, afhankelijk van of de grotere basiskandidaat telbaar is of niet). Een Hilbert -ruimte is scheidbaar Als en alleen als het een telbaar orthonormale basis. (Men kan deze laatste verklaring bewijzen zonder het axioma naar keuze te gebruiken.)

Keuze van basis als een keuze van isomorfisme

Voor concreetheid bespreken we orthonormale bases voor een echte, Dimensionale vectorruimte met een positieve duidelijke symmetrische bilineaire vorm .

Een manier om een ​​orthonormale basis te bekijken met betrekking tot is als een set vectoren , waardoor we kunnen schrijven voor , en of . Met betrekking tot deze basis, de componenten van zijn bijzonder eenvoudig:

We kunnen nu de basis als een kaart beschouwen wat een isomorfisme is van innerlijke productruimtes: om dit explicieter te maken, kunnen we schrijven

Expliciet kunnen we schrijven waar is het dubbele basiselement om .

De inverse is een componentkaart

Deze definities maken het manifesteren dat er een beugels is

De ruimte van isomorfismen geeft acties van orthogonale groepen toe bij de zijkant of de kant. Voor concreetheid repareren we de isomorfismen om in de richting te wijzen , en overweeg de ruimte van dergelijke kaarten, .

Deze ruimte geeft een linkeractie toe door de groep isometrieën van , dat is, zoals dat , met de actie gegeven door compositie:

Deze ruimte geeft ook een juiste actie toe door de groep isometrieën van , dat is, , met de actie die opnieuw wordt gegeven door compositie: .

Als een hoofd homogene ruimte

De set orthonormale bases voor met het standaard binnenproduct is een Hoofd homogene ruimte of g-torsor voor de orthogonale groep en wordt de Stiefel verdeelstuk van orthonormaal -Frames.[6]

Met andere woorden, de ruimte van orthonormale basen is als de orthogonale groep, maar zonder een keuze van het basispunt: gezien de ruimte van orthonormale basen, is er geen natuurlijke keuze van orthonormale basis, maar als je er een krijgt, is er een -O-één correspondentie tussen basen en de orthogonale groep. Concreet wordt een lineaire kaart bepaald door waar deze een bepaalde basis verzendt: net zoals een inverteerbare kaart elke basis naar een andere basis kan nemen, kan een orthogonale kaart elke orthogonaal basis voor een andere orthogonaal basis.

De andere stiefel verdeelde zich voor van incompleet orthonormale bases (orthonormaal -frames) zijn nog steeds homogene ruimtes voor de orthogonale groep, maar niet voornaam Homogene ruimtes: elk -Frame kan naar elke andere worden ingenomen -Frame door een orthogonale kaart, maar deze kaart is niet uniek bepaald.

  • De set orthonormale bases voor is een G-torsor voor .
  • De set orthonormale bases voor is een G-torsor voor .
  • De set orthonormale bases voor is een G-torsor voor .
  • De set rechtshandige orthonormale bases voor is een G-torsor voor

Zie ook

Referenties

  1. ^ Lay, David C. (2006). Lineaire algebra en zijn toepassingen (3e ed.). Addison - Wesley. ISBN 0-321-28713-4.
  2. ^ Strang, Gilbert (2006). Lineaire algebra en zijn toepassingen (4e ed.). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6.
  3. ^ Axler, Sheldon (2002). Lineaire algebra goed gedaan (2e ed.). Springer. ISBN 0-387-98258-2.
  4. ^ Rudin, Walter (1987). Echte en complexe analyse. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
  5. ^ Lineaire functionele analyse Auteurs: Rynne, Bryan, Youngson, M.A. Pagina 79
  6. ^ "Cu -faculteit". engfac.cooper.edu. Opgehaald 2021-04-15.

Externe links

  • Deze Stack Exchange Post bespreekt waarom de set Dirac Delta -functies geen basis is van L2([0,1]).