Gemeen

Er zijn verschillende soorten gemeen in wiskunde, met name in statistieken. Elk gemiddelde dient om een ​​bepaalde groep samen te vatten gegevens, vaak om de algehele waarde beter te begrijpen (grootte en teken) van een gegeven gegevensset.

Voor een gegevensset, de rekenkundig gemiddelde, ook bekend als "rekenkundig gemiddelde", is een maat voor algemene drang van een eindige set getallen: specifiek de som van de waarden gedeeld door het aantal waarden. Het rekenkundige gemiddelde van een reeks getallen x₁, x₂, ..., x_n wordt meestal aangegeven met een overheadbalk, ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$.^{[notitie 1]} Als de gegevensset gebaseerd was op een reeks observaties verkregen door bemonstering van een statistische bevolking, het rekenkundige gemiddelde is het monstergemiddelde (${\ displaystyle {\ bar {x}}}$) om het te onderscheiden van het gemiddelde, of verwachte waardevan de onderliggende verdeling, de populatie gemiddelde (aangeduid ${\ DisplayStyle \ mu}$ of ${\ displaystyle \ mu _ {x}}$^{[Opmerking 2]}).^[1]

Externe waarschijnlijkheid en statistieken, een breed scala aan andere begrippen gemiddelde worden vaak gebruikt in geometrie en wiskundige analyse; Voorbeelden worden hieronder gegeven.

Soorten middelen

Pythagoras betekent

Rekenkundig gemiddelde (am)

De rekenkundig gemiddelde (of gewoon gemeen) van een lijst met getallen, is de som van alle getallen gedeeld door het aantal getallen. Evenzo is het gemiddelde van een monster ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$, meestal aangeduid door ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$, is de som van de bemonsterde waarden gedeeld door het aantal items in het monster

${\ displayStyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ links (\ sum _ {i = 1}^{n} {x_ {i}} \ rechts) = {\ frac { x_ {1}+x_ {2}+\ cdots+x_ {n}} {n}}}$

Het rekenkundig gemiddelde van vijf waarden bijvoorbeeld: 4, 36, 45, 50, 75 is:

${\ displayStyle {\ frac {4+36+45+50+75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}$

Geometrisch gemiddelde (GM)

De geometrisch gemiddelde is een gemiddelde dat nuttig is voor sets van positieve getallen, die worden geïnterpreteerd volgens hun product (zoals het geval is met groeipercentages) en niet hun som (zoals het geval is met het rekenkundig gemiddelde):

${\ displayStyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1}^{n} {x_ {i}} \ rechts)^{\ frac {1} {n}} = \ left ( x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ rechts)^{\ frac {1} {n}}}$ ^[2]

Het geometrische gemiddelde van vijf waarden bijvoorbeeld: 4, 36, 45, 50, 75 is:

${\ displayStyle (4 \ maal 36 \ maal 45 \ maal 50 \ maal 75)^{\ frac {1} {5}} = {\ sqrt [{5}] {24 \; 300 \; 000}} = 30 .}$

Harmonisch gemiddelde (HM)

De harmonisch gemiddelde is een gemiddelde die nuttig is voor sets van getallen die worden gedefinieerd in relatie tot sommigen eenheid, zoals in het geval van snelheid (d.w.z. afstand per tijdseenheid):

${\ displayStyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {x_ {i}}} \ rechts)^{-1}}$

Het harmonische gemiddelde van de vijf waarden bijvoorbeeld: 4, 36, 45, 50, 75 is

${\ displayStyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}}+{\ tfrac {1} {36}}+{\ tfrac {1} {45}}+{\ tfrac 50}}+{\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}$

Relatie tussen AM, GM en HM

Bewijs zonder woorden van de ongelijkheid van rekenkunde en geometrische middelen:
PR is een diameter van een cirkel gecentreerd op O; zijn straal ao is de rekenkundig gemiddelde van a en b. De ... gebruiken Geometrische gemiddelde stelling, Triangle PGR's hoogte GQ is de geometrisch gemiddelde. Voor elke verhouding a:b, AO ≥ GQ.

AM, GM en HM voldoen aan deze ongelijkheden:

${\ DisplayStyle \ Mathrm {am} \ geq \ Mathrm {gm} \ geq \ mathrm {hm} \,}$

Gelijkheid geldt als alle elementen van het gegeven monster gelijk zijn.

Statistische locatie

Vergelijking van de rekenkundig gemiddelde, mediaan-, en modus van twee scheve (log-normaal) uitkeringen.

Geometrische visualisatie van de modus, mediaan en gemiddelde van een willekeurige waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie.^[3]

In beschrijvende statistieken, het gemiddelde kan worden verward met de mediaan-, modus of middenbereik, omdat een van deze een "gemiddelde" kan worden genoemd (formeler, een maat voor algemene drang). Het gemiddelde van een reeks waarnemingen is het rekenkundige gemiddelde van de waarden; voor Scheve distributies, het gemiddelde is niet noodzakelijkerwijs hetzelfde als de middelste waarde (mediaan) of de meest waarschijnlijke waarde (modus). Het gemiddelde inkomen wordt bijvoorbeeld meestal omhoog scheef door een klein aantal mensen met zeer grote inkomens, zodat de meerderheid een inkomen lager heeft dan het gemiddelde. Het mediane inkomen is daarentegen het niveau waarop de helft van de bevolking lager is en de helft hoger is. De modusinkomsten zijn het meest waarschijnlijke inkomen en begunstigt het grotere aantal mensen met lagere inkomens. Hoewel de mediaan en de modus vaak meer intuïtieve maatregelen zijn voor dergelijke scheve gegevens, kunnen veel scheve distributies in feite het beste worden beschreven door hun gemiddelde, inclusief de exponentieel en vergif distributies.

Gemiddelde van een waarschijnlijkheidsverdeling

Het gemiddelde van een waarschijnlijkheidsverdeling is de langdurige rekenkundige gemiddelde waarde van een willekeurige variabele die verdeling hebben. Als de willekeurige variabele wordt aangegeven door ${\ displaystyle x}$, dan staat het ook bekend als de verwachte waarde van ${\ displaystyle x}$ (aangeduid ${\ displaystyle e (x)}$). Voor een Discrete waarschijnlijkheidsverdeling, het gemiddelde wordt gegeven door ${\ DisplayStyle \ TextStyle \ sum xp (x)}$, waarbij de som wordt overgenomen over alle mogelijke waarden van de willekeurige variabele en ${\ displaystyle p (x)}$ is de kansdichtheidsfunctie. Voor een continue verdeling, het gemiddelde is ${\ DisplayStyle \ TextStyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} xf (x) \, dx}$, waar ${\ displaystyle f (x)}$ is de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie.^[4] In alle gevallen, inclusief die waarin de verdeling noch discreet noch continu is, is het gemiddelde de Lebesgue integraal van de willekeurige variabele ten opzichte van zijn waarschijnlijkheidsmaat. De gemiddelde hoeft niet te bestaan ​​of eindig te zijn; Voor sommige waarschijnlijkheidsverdelingen is het gemiddelde oneindig (+∞ of - −∞), terwijl voor anderen het gemiddelde is ongedefinieerd.

Gegeneraliseerde middelen

Machtgemiddelde

De Gegeneraliseerd gemiddelde, ook bekend als het machtsmiddel of Hölder -gemiddelde, is een abstractie van de kwadratisch, rekenkundige, geometrische en harmonische middelen. Het is gedefinieerd voor een set van n Positieve getallen x_i door

${\ displayStyle {\ bar {x}} (m) = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1}^{n} x_ {i}^{m} \ rechts) ^{\ frac {1} {m}}}$ ^[2]

Door verschillende waarden voor de parameter te kiezen m, de volgende soorten middelen worden verkregen:

${\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty}}$

maximaal van ${\ DisplayStyle x_ {i}}$

${\ displaystyle \ lim _ {m \ tot 2}}$

kwadratisch gemiddelde

${\ displaystyle \ lim _ {m \ tot 1}}$

rekenkundig gemiddelde

${\ displaystyle \ lim _ {m \ tot 0}}$

geometrisch gemiddelde

${\ displaystyle \ lim _ {m \ tot -1}}$

harmonisch gemiddelde

${\ displaystyle \ lim _ {m \ to -\ infty}}$

minimum van ${\ DisplayStyle x_ {i}}$

f-gemeen

Dit kan verder worden gegeneraliseerd als de gegeneraliseerd f-gemeen

${\ displayStyle {\ bar {x}} = f^{-1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1}^{n} {f \ left (x_ { i} \ rechts)}} \ rechts)}$

En opnieuw een geschikte keuze uit een invertible f zal geven

${\ displaystyle f (x) = x}$	rekenkundig gemiddelde,,
${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$	harmonisch gemiddelde,,
${\ displaystyle f (x) = x^{m}}$	Machtgemiddelde,,
${\ displaystyle f (x) = \ ln (x)}$	geometrisch gemiddelde.

Gewogen rekenkundig gemiddelde

De gewogen rekenkundig gemiddelde (of gewogen gemiddelde) wordt gebruikt als men gemiddelde waarden van verschillende grootte -monsters van dezelfde populatie wil combineren:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}}{\sum _{i = 1}^{n} w_ {i}}}.}$ ^[2]

Waar ${\ DisplayStyle {\ bar {x_ {i}}}}$ en ${\ DisplayStyle w_ {i}}$ zijn het gemiddelde en de grootte van het monster ${\ displaystyle i}$ respectievelijk. In andere toepassingen vertegenwoordigen ze een maatregel voor de betrouwbaarheid van de invloed op het gemiddelde door de respectieve waarden.

Ingekorte gemiddelde

Soms kan een reeks getallen uitbijters bevatten (d.w.z. gegevenswaarden die veel lager of veel hoger zijn dan de andere). Vaak zijn uitbijters onjuiste gegevens veroorzaakt door artefacten. In dit geval kan men een ingekorte gemiddelde. Het gaat om het weggooien van gegeven delen van de gegevens aan de bovenkant of onderaan, meestal een gelijke hoeveelheid aan elk uiteinde en vervolgens het rekenkundig gemiddelde van de resterende gegevens te nemen. Het aantal verwijderde waarden wordt aangegeven als een percentage van het totale aantal waarden.

Interkwartiel betekent

De interkwartiel betekent is een specifiek voorbeeld van een afgekapt gemiddelde. Het is gewoon het rekenkundige gemiddelde na het verwijderen van het laagste en het hoogste kwart van de waarden.

${\ displayStyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}}+1}^{{{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i}}$

Ervan uitgaande dat de waarden zijn besteld, is dus gewoon een specifiek voorbeeld van een gewogen gemiddelde voor een specifieke set gewichten.

Gemiddelde van een functie

In sommige omstandigheden kunnen wiskundigen een gemiddelde van een oneindig (of zelfs een ontelbaar) Set van waarden. Dit kan gebeuren bij het berekenen van de gemiddelde waarde ${\ displaystyle y _ {\ text {avg}}}$ van een functie ${\ displaystyle f (x)}$. Intuïtief kan een gemiddelde van een functie worden beschouwd als het berekenen van het gebied onder een deel van een curve en vervolgens delen door de lengte van die sectie. Dit kan grof worden gedaan door vierkanten op grafisch papier te tellen, of meer precies door integratie. De integratieformule is geschreven als:

${\ displaystyle y _ {\ text {avg}} (a, b) = {\ frac {1} {b-a}} \ int \ limits _ {a}^{b} \! f (x) \, dx}$

In dit geval moet er zorgen worden gemaakt om ervoor te zorgen dat de integraal convergeert. Maar het gemiddelde kan eindig zijn, zelfs als de functie zelf op sommige punten oneindig neigt.

Gemiddelde van hoeken en cyclische hoeveelheden

Hoeken, tijden van de dag en andere cyclische hoeveelheden vereisen modulaire rekenkunde Om getallen toe te voegen en anderszins te combineren. In al deze situaties zal er geen uniek gemiddelde zijn. De tijden een uur voor en na middernacht zijn bijvoorbeeld op gelijke afstand van zowel middernacht als middag. Het is ook mogelijk dat er geen gemiddelde bestaat. Overweeg een kleurenwiel- Er is geen gemene voor de set van alle kleuren. In deze situaties moet u beslissen welk gemiddelde het meest nuttig is. U kunt dit doen door de waarden aan te passen voordat u een gemiddelde bent, of door een gespecialiseerde benadering voor het gemiddelde van cirkelvormige hoeveelheden.

Fréchet betekent

De Fréchet betekent geeft een manier voor het bepalen van het "centrum" van een massaverdeling op een oppervlak of, meer in het algemeen, Riemanniaans verdeelstuk. In tegenstelling tot veel andere middelen, wordt het Fréchet -gemiddelde gedefinieerd op een ruimte waarvan de elementen niet noodzakelijkerwijs niet bij elkaar worden toegevoegd of vermenigvuldigd met scalars. Het wordt soms ook wel de Karcher betekent (genoemd naar Hermann Karcher).

Swansons regel

Dit is een benadering van het gemiddelde voor een matig scheve verdeling.^[5] Het wordt gebruikt in exploratie van koolwaterstoffen en wordt gedefinieerd als:

${\ displaystyle m = 0.3p_ {10}+0.4p_ {50}+0.3p_ {90}}$

waar P₁₀, P₅₀ en P₉₀ 10e, 50e en 90e percentielen van de verdeling.

Andere middelen

Zie ook

• Algemene drang
  • Mediaan
  • Modus
• Beschrijvende statistieken
• Kurtosis
• Wet van gemiddelden
• Gemiddelde waarde stelling
• Moment (wiskunde)
• Samenvattende statistieken
• Taylor's wet

Aantekeningen

Referenties