Wiskunde

Eulers identiteit, Soms het meest genoemd mooi Stelling van de wiskunde^[1]

Wiskunde (van Oud Grieks μάθημα; máthēma:'Kennis, studie, leren') is een kennisgebied dat onderwerpen als cijfers omvat (rekenkundig en nummer theorie),^[2] formules en gerelateerde structuren (algebra),^[3] vormen en de spaties waarin ze zijn opgenomen (geometrie),^[2] en hoeveelheden en hun veranderingen (calculus en analyse).^[4][5][6] De meeste wiskundige activiteit omvat het gebruik van pure reden om de eigenschappen van te ontdekken of te bewijzen Abstracte objecten, die uit beide bestaan abstracties uit de natuur of - in moderne wiskunde - ingebouwde ondernemingen die worden bepaald met bepaalde eigenschappen, genoemd axioma's. EEN Wiskundig bewijs bestaat uit een opeenvolging van toepassingen van sommigen deductieve regels tot reeds bekende resultaten, inclusief eerder bewezen stellingen, axioma's en (in het geval van abstractie van de natuur) enkele basiseigenschappen die worden beschouwd als echte uitgangspunten van de in overweging genomen theorie.

Wiskunde wordt gebruikt in wetenschap voor modellering Fenomenen, waardoor voorspellingen worden gedaan van experimentele wetten. De onafhankelijkheid van wiskundige waarheid van elk experimenten houdt in dat de nauwkeurigheid van dergelijke voorspellingen alleen afhankelijk is van de toereikendheid van het model. Onnauwkeurige voorspellingen, in plaats van te worden veroorzaakt door onjuiste wiskunde, impliceren de noodzaak om het gebruikte wiskundige model te veranderen. Bijvoorbeeld de perihelion precessie van kwik kon alleen worden uitgelegd na de opkomst van Einstein's Algemene relativiteitstheorie, die vervangen Newton's wet op zwaartekracht als een beter wiskundig model.

Wiskunde is essentieel in de wetenschappen, engineering, geneesmiddel, financiën, computertechnologie en de sociale wetenschappen. Sommige wiskundegebieden, zoals statistieken en spel theorie, worden ontwikkeld in nauwe correlatie met hun toepassingen en worden vaak gegroepeerd onder toegepaste wiskunde. Andere wiskundige gebieden worden onafhankelijk ontwikkeld van elke toepassing (en worden daarom genoemd pure wiskunde), maar praktische toepassingen worden later vaak ontdekt.^[7][8] Een passend voorbeeld is het probleem van geheel getalfactorisatie, die teruggaat naar Euclid, maar die geen praktische toepassing had vóór het gebruik ervan in de RSA cryptosysteem (voor de beveiliging van computer netwerken).

Historisch, het concept van een bewijs en de bijbehorende Wiskundige strengheid verscheen voor het eerst in Griekse wiskunde, met name in Euclid's Elementen.^[9] Sinds het begin was de wiskunde in wezen verdeeld in geometrie, en rekenkundig (De manipulatie van natuurlijke getallen en breuk), tot de 16e en 17e eeuw, wanneer algebra^[a] en oneindigimale calculus werden geïntroduceerd als nieuwe delen van het onderwerp. Sindsdien is de interactie tussen wiskundige innovaties en wetenschappelijke ontdekkingen heeft geleid tot een snelle toename van de ontwikkeling van de wiskunde. Aan het einde van de 19e eeuw, de Fundamentele crisis van wiskunde leidde tot de systematisering van de axiomatische methode. Dit leidde tot een dramatische toename van het aantal wiskundegebieden en hun toepassingsgebieden. Een voorbeeld hiervan is de Wiskundige onderwerpclassificatie, die meer dan 60 wiskundegebieden op het eerste niveau weergeeft.

Etymologie

Het woord wiskunde komt van Oud Grieks máthēma (μάθημα), wat betekent "dat wat wordt geleerd", "^[10] "Wat men leert kennen", vandaar ook "studeren" en "wetenschap". Het woord voor "wiskunde" kreeg de smallere en meer technische betekenis "wiskundige studie" zelfs in klassieke tijden.^[11] Zijn adjectief is Mathēmatikós (μαθηματικός), wat betekent "gerelateerd aan leren" of "leergierigheid", wat ook verder "wiskundig" betekende. Vooral, Mathēmatikḗ Tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; Latijns: ars mathematica) betekende 'de wiskundige kunst'.

Evenzo is een van de twee hoofdscholen in gedachten in Pythagorisme stond bekend als de Mathēmatikoi (μαθηματικοί) - die destijds "leerlingen" betekende in plaats van "wiskundigen" in de moderne zin.

In het Latijn, en in het Engels tot ongeveer 1700, de term wiskunde vaker bedoeld "astrologie"(of soms"astronomie") in plaats van" wiskunde "; de betekenis veranderde geleidelijk in de huidige van ongeveer 1500 tot 1800. Dit heeft geresulteerd in verschillende onenigheid. Saint AugustinusDe waarschuwing dat christenen oppassen Mathematici, wat betekent dat astrologen soms worden vertaald als een veroordeling van wiskundigen.^[12]

Het schijnbare meervoud vorm in het Engels gaat terug naar het Latijn onzijdig meervoud mathematica (Cicero), gebaseerd op het Griekse meervoud ta mathēmatiká (τὰ μαθηματικά), gebruikt door Aristoteles (384–322 v.Chr.), En betekent ruwweg "alle dingen wiskundig", hoewel het aannemelijk is dat Engels alleen het bijvoeglijk naamwoord heeft geleend Mathematic (AL) en vormde het zelfstandig naamwoord wiskunde opnieuw, na het patroon van natuurkunde en metafysica, die uit het Grieks werden geërfd.^[13] In het Engels, het zelfstandig naamwoord wiskunde Neemt een enkel werkwoord. Het wordt vaak ingekort om wiskunde of, in Noord -Amerika, wiskunde.^[14]

Wiskundegebieden

Voor de Renaissance, Wiskunde werd verdeeld in twee hoofdgebieden: rekenkundig - met betrekking tot de manipulatie van cijfers, en geometrie - Wat betreft de studie van vormen. Sommige soorten pseudowetenschap, zoals numerologie en astrologie, werden toen niet duidelijk onderscheiden van de wiskunde.

Tijdens de renaissance verschenen er nog twee gebieden. Wiskundige notatie leidde tot algebradie grofweg bestaat uit de studie en de manipulatie van formules. Calculus, bestaande uit de twee subvelden oneindigimale calculus en integrale calculus, is de studie van continue functies, die de typisch niet -lineaire relaties tussen verschillende hoeveelheden modelleren (variabelen). Deze divisie in vier hoofdgebieden - rekenkunde, geometrie, algebra, calculus^{[Verificatie nodig]} - Ik heb tot het einde van de 19e eeuw doorstaan. Gebieden zoals hemelse mechanica en Solide mechanica werden toen vaak beschouwd als onderdeel van de wiskunde, maar worden nu beschouwd als behorend bij natuurkunde. Sommige proefpersonen die in deze periode zijn ontwikkeld, vóór de wiskunde en zijn onderverdeeld in gebieden zoals waarschijnlijkheids theorie en combinatorisch, die pas later werd beschouwd als autonome gebieden.

Aan het einde van de 19e eeuw, de Fundamentele crisis in wiskunde en de resulterende systematisering van de axiomatische methode leidde tot een explosie van nieuwe wiskundegebieden. Vandaag de Wiskundige onderwerpclassificatie bevat niet minder dan vierenzestig gebieden op het eerste niveau. Sommige van deze gebieden komen overeen met de oudere divisie, zoals waar is met betrekking tot nummer theorie (De moderne naam voor Hoger rekenkunde) en geometrie. (Verschillende andere gebieden op het eerste niveau hebben echter "geometrie" in hun namen of worden anders vaak beschouwd als onderdeel van geometrie.) Algebra en calculus verschijnen niet als gebieden op het eerste niveau, maar worden respectievelijk opgesplitst in verschillende gebieden op het eerste niveau. Andere gebieden op het eerste niveau ontstonden in de 20e eeuw (bijvoorbeeld Categorietheorie; Homologische algebra, en computertechnologie) of was niet eerder beschouwd als wiskunde, zoals Wiskundige logica en stichtingen (inclusief modeltheorie, rekenbaarheidstheorie, Set Theory, bewijstheorie, en algebraïsche logica).

Nummer theorie

Dit is de Ulam spiraaldie de verdeling van de verdeling van priemgetallen. De donkere diagonale lijnen in de spiraalvormige hint naar de veronderstelde benadering onafhankelijkheid tussen prime zijn en een waarde zijn van een kwadratisch polynoom, een vermoeden dat nu bekend staat als Hardy en Littlewood's vermoeden F.

Nummertheorie begon met de manipulatie van cijfers, dat is, natuurlijke getallen ${\ displayStyle (\ Mathbb {n}),}$ en later uitgebreid naar gehele getallen ${\ displayStyle (\ Mathbb {z})}$ en rationele nummers ${\ displayStyle (\ Mathbb {q}).}$ Vroeger werd de nummertheorie gebeld rekenkundig, maar tegenwoordig wordt deze term meestal gebruikt voor numerieke berekeningen.

Veel gemakkelijk vermelde nummerproblemen hebben oplossingen die geavanceerde methoden uit de wiskunde vereisen. Een prominent voorbeeld is Fermat's laatste stelling. Dit vermoeden werd in 1637 vermeld door Pierre de Fermat, maar het was bewezen Pas in 1994 door Andrew Wiles, wie gebruikte tools inclusief Schematheorie van algebraïsche geometrie, Categorietheorie en Homologische algebra. Een ander voorbeeld is Goldbach's vermoedens, die beweert dat elk zelfs gehele getal groter dan 2 de som van twee is priemgetallen. Vermeld in 1742 door Christian Goldbach, het blijft tot op de dag van vandaag onbewezen ondanks aanzienlijke inspanningen.

Nummertheorie omvat verschillende subarea's, waaronder Analytisch nummertheorie, Algebraïsche nummertheorie, Geometrie van getallen (Methode georiënteerd), Diofantijnse vergelijkingen, en transcendentie -theorie (Probleem georiënteerd).

Geometrie

Geometrie is een van de oudste takken van wiskunde. Het begon met empirische recepten met betrekking tot vormen, zoals lijnen, hoeken en cirkelsdie voornamelijk werden ontwikkeld voor de behoeften van onderzoek en architectuur, maar is sindsdien uitgegroeid tot vele andere subvelden.

Een fundamentele innovatie was de introductie van het concept van bewijzen door oud Grieks, met de vereiste dat elke bewering moet zijn bewezen. Het is bijvoorbeeld niet voldoende om te verifiëren door meting Dat bijvoorbeeld twee lengtes gelijk zijn; Hun gelijkheid moet worden bewezen via redenering uit eerder geaccepteerde resultaten (stellingen) en een paar basisuitspraken. De basisverklaringen zijn niet aan het bewijs omdat ze vanzelfsprekend zijn (postuleren), of ze maken deel uit van de definitie van het onderwerp van de studie (axioma's). Dit principe, dat fundamenteel is voor alle wiskunde, werd eerst uitgewerkt voor geometrie en werd gesystematiseerd door Euclid Ongeveer 300 voor Christus in zijn boek Elementen.

Het resultaat Euclidische geometrie is de studie van vormen en hun regelingen gebouwd van lijnen, vlakken en cirkels in de Euclidisch vlak (vlakke geometrie) en de (driedimensionale) Euclidische ruimte.^[b]

Euclidische geometrie werd ontwikkeld zonder verandering van methoden of reikwijdte tot de 17e eeuw, wanneer Rene Descartes geïntroduceerd wat er nu wordt genoemd Cartesiaanse coördinaten. Dit was een major verandering van paradigma, omdat in plaats van te definiëren echte getallen als lengtes van lijnsegmenten (zien nummerlijn), het stond de weergave van punten toe met behulp van hun coördineert (die getallen zijn). Hierdoor kan men gebruiken algebra (en later, calculus) om geometrische problemen op te lossen. Deze gesplitste geometrie in twee nieuwe subvelden: synthetische geometrie, die puur geometrische methoden gebruikt, en analytische meetkunde, die systemisch coördinaten gebruikt.

Analytische geometrie maakt de studie mogelijk krommen die niet gerelateerd zijn aan cirkels en lijnen. Dergelijke krommen kunnen worden gedefinieerd als Grafiek van functies (wiens studie leidde tot differentiële geometrie). Ze kunnen ook worden gedefinieerd als impliciete vergelijkingen, vaak polynoomvergelijkingen (die voortkwam algebraïsche geometrie). Analytische geometrie maakt het ook mogelijk om te overwegen spaties van hogere dan drie dimensies.

In de 19e eeuw ontdekten wiskundigen niet-Euclidische geometrieën, die niet de parallel postulaat. Door de waarheid van dat postulaat in twijfel te trekken, sluit deze ontdekking mee Russel's paradox als onthullend de Fundamentele crisis van wiskunde. Dit aspect van de crisis werd opgelost door de axiomatische methodeen het aannemen van de waarheid van de gekozen axioma's is geen wiskundig probleem. Op zijn beurt zorgt de axiomatische methode voor de studie van verschillende geometrieën verkregen door het veranderen van de axioma's of door eigenschappen te overwegen die zijn onveranderbaar onder specifieke transformaties van de ruimte.

Tegenwoordig omvatten de subalea's van de geometrie:

• Projectieve geometrie, geïntroduceerd in de 16e eeuw door Girard desargues, breidt Euclidische geometrie uit door toe te voegen Punten bij oneindigheid waarbij parallelle lijnen snijden. Dit vereenvoudigt veel aspecten van klassieke geometrie door de behandelingen te verenigen voor kruisende en parallelle lijnen.
• Affiene geometrie, de studie van eigenschappen ten opzichte van parallellisme en onafhankelijk van het concept van lengte.
• Differentiële geometrie, de studie van curven, oppervlakken en hun generalisaties, die worden gedefinieerd met behulp van Differentabele functies
• Vele theorie, de studie van vormen die niet noodzakelijkerwijs zijn ingebed in een grotere ruimte
• Riemanniaanse geometrie, de studie van afstandseigenschappen in gebogen ruimtes
• Algebraïsche geometrie, de studie van curven, oppervlakken en hun generalisaties, die worden gedefinieerd met behulp van polynomen
• Topologie, de studie van eigenschappen die onder worden gehouden continue vervormingen
  • Algebraïsche topologie, het gebruik in de topologie van algebraïsche methoden, vooral Homologische algebra
• Discrete geometrie, de studie van eindige configuraties in geometrie
• Convexe geometrie, de studie van convexe sets, wat het belang ervan haalt uit zijn toepassingen in optimalisatie
• Complexe geometrie, de geometrie verkregen door reële getallen te vervangen door complexe getallen

Algebra

Algebra is de kunst van het manipuleren vergelijkingen en formules. Diophantus (3e eeuw) en al-Khwarizmi (9e eeuw) waren de twee belangrijkste voorlopers van algebra. De eerste loste enkele vergelijkingen op waarbij onbekend betrokken was natuurlijke getallen door nieuwe relaties af te leiden totdat hij de oplossing verkreeg. De tweede introduceerde systematische methoden voor het transformeren van vergelijkingen (zoals het verplaatsen van een term van een zijde van een vergelijking naar de andere kant). De voorwaarde algebra is afgeleid van de Arabisch woord al-jabr wat betekent "de reünie voor gebroken delen"^[15] die hij gebruikte voor het noemen van een van deze methoden in de titel van Zijn belangrijkste verhandeling.

De kwadratische formule, die bondig de oplossingen van iedereen uitdrukt kwadratische vergelijkingen

Algebra werd alleen een gebied op zichzelf François Viète (1540–1603), die het gebruik van brieven introduceerde (variabelen) voor het weergeven van onbekende of niet -gespecificeerde nummers. Hierdoor kunnen wiskundigen de bewerkingen beschrijven die moeten worden uitgevoerd op de cijfers die worden weergegeven met behulp van Wiskundige formules.

Tot de 19e eeuw bestond algebra voornamelijk uit de studie van lineaire vergelijkingen (momenteel lineaire algebra), en polynoomvergelijkingen in een enkele onbekend, die werden genoemd algebraïsche vergelijkingen (Een term die nog steeds in gebruik is, hoewel het dubbelzinnig kan zijn). In de 19e eeuw begonnen wiskundigen variabelen te gebruiken om andere dingen te vertegenwoordigen dan cijfers (zoals zoals matrices, modulaire gehele getallen, en Geometrische transformaties), over welke generalisaties van rekenkundige bewerkingen vaak geldig zijn. Het concept van algebraïsche structuur richt dit op, bestaande uit een set wiens elementen niet worden gespecificeerd, van bewerkingen die op de elementen van de set werken, en regels die deze bewerkingen moeten volgen. Vanwege deze verandering groeide de reikwijdte van algebra om de studie van algebraïsche structuren op te nemen. Dit object van algebra heette moderne algebra of abstracte algebra. (De laatste term verschijnt voornamelijk in een educatieve context, in tegenstelling tot Elementaire algebra, die zich bezighoudt met de oudere manier om formules te manipuleren.)

Rubik's Cube: De studie van de mogelijke bewegingen is een concrete toepassing van groepstheorie

Sommige soorten algebraïsche structuren hebben nuttige en vaak fundamentele eigenschappen, op veel wiskundegebieden. Hun studie werd autonome delen van algebra en omvatten:

• groepstheorie;
• veldtheorie;
• vectorruimten, wiens studie in wezen hetzelfde is als lineaire algebra;
• ringtheorie;
• commutatieve algebra, dat is de studie van commutatieve ringen, omvat de studie van polynomen, en is een fundamenteel onderdeel van algebraïsche geometrie;
• Homologische algebra
• Liegen algebra en Leugengroep theorie;
• Booleaanse algebra, die veel wordt gebruikt voor de studie van de logische structuur van computers.

De studie van soorten algebraïsche structuren als wiskundige objecten is het object van universele algebra en Categorietheorie. De laatste is van toepassing op elk Wiskundige structuur (niet alleen algebraïsche). Bij zijn oorsprong werd het geïntroduceerd, samen met homologische algebra voor het toestaan ​​van de algebraïsche studie van niet-Algebraïsche objecten zoals zoals topologische ruimtes; Dit specifieke toepassingsgebied wordt genoemd algebraïsche topologie.

Calculus en analyse

Grenzen staan ​​aan de basis van
calculus en analyse.

Calculus, voorheen genoemd oneindigimale calculus, werd onafhankelijk en tegelijkertijd geïntroduceerd door wiskundigen uit de 17e eeuw Newton en Leibniz. Het is fundamenteel de studie van de relatie van variabelen die van elkaar afhankelijk zijn. Calculus werd in de 18e eeuw uitgebreid door Euler met de introductie van het concept van een functie en vele andere resultaten. Momenteel verwijst "calculus" voornamelijk naar het elementaire deel van deze theorie, en "analyse" wordt vaak gebruikt voor geavanceerde onderdelen.

Analyse wordt verder onderverdeeld in Echte analyse, waar variabelen vertegenwoordigen echte getallen, en complexe analyse, waar variabelen vertegenwoordigen complexe getallen. Analyse omvat veel subarea's gedeeld door andere wiskundegebieden, waaronder:

• Multivariabele calculus
• Functionele analyse, waar variabelen verschillende functies vertegenwoordigen;
• Integratie, Meet Theory en potentiële theorie, allemaal sterk gerelateerd aan Waarschijnlijkheids theorie;
• Gewone differentiaalvergelijkingen;
• Gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen;
• Numerieke analyse, voornamelijk gewijd aan de berekening op computers van oplossingen van gewone en gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen die zich in veel toepassingen voordoen.

Discrete wiskunde

Discrete wiskunde, in grote lijnen, is de studie van eindige Wiskundige objecten. Omdat de onderzoeksobjecten hier discreet zijn, de methoden van calculus en wiskundige analyse niet direct van toepassing zijn.^[c] Algoritmen - vooral hun implementatie en computationele complexiteit - Speel een belangrijke rol in discrete wiskunde.

Discrete wiskunde omvat:

• Combinatorisch, de kunst van het opsommen Wiskundige objecten Dat voldoet aan enkele gegeven beperkingen. Oorspronkelijk waren deze objecten elementen of subsets van een gegeven set; Dit is uitgebreid tot verschillende objecten, die een sterk verband leggen tussen combinatoriek en andere delen van discrete wiskunde. Discrete geometrie omvat bijvoorbeeld het tellen van configuraties van geometrische vormen
• Graph -theorie en hypergraphs
• Coderingstheorie, inclusief Fout bij het corrigeren van codes en een deel van cryptografie
• Matroid theorie
• Discrete geometrie
• Discrete waarschijnlijkheidsverdelingen
• Spel theorie (hoewel Continue spellen worden ook bestudeerd, meest voorkomende spellen, zoals schaken en poker zijn discreet)
• Discrete optimalisatie, inclusief combinatorische optimalisatie, gehele programmering, Beperkingsprogrammering

De vier kleurenstelling en optimale bolpakking waren twee grote problemen van discrete wiskunde opgelost in de tweede helft van de 20e eeuw. De P versus NP -probleem, die voor deze dag open blijft, is ook belangrijk voor discrete wiskunde, omdat de oplossing ervan veel zou beïnvloeden.^{[Verdere uitleg nodig]}

Wiskundige logica en set -theorie

De twee onderwerpen van de wiskundige logica en de theorie hebben beide sinds het einde van de 19e eeuw tot de wiskunde behoord. Vóór deze periode werden sets niet beschouwd als Wiskundige objecten, en logica, hoewel gebruikt voor Wiskundige bewijzen, behoorde tot filosofie, en werd niet specifiek bestudeerd door wiskundigen.

Voordat Cantor's studie van oneindige sets, wiskundigen waren terughoudend om te overwegen eigenlijk oneindig collecties, en overwogen oneindigheid om het resultaat te zijn van eindeloos opsomming. Cantor's werk beledigde veel wiskundigen, niet alleen door daadwerkelijk oneindige sets te overwegen, maar ook door aan te tonen dat dit verschillende grootte van oneindig impliceert (zie Cantor's diagonale argument) en het bestaan ​​van wiskundige objecten die niet kunnen worden berekend of zelfs expliciet worden beschreven (bijvoorbeeld, bijvoorbeeld, Hamel honken van de echte getallen over de rationele nummers). Dit leidde tot de Controverse over Cantor's set -theorie.

In dezelfde periode concludeerden verschillende wiskundegebieden dat de voormalige intuïtieve definities van de fundamentele wiskundige objecten onvoldoende waren om ervoor te zorgen Wiskundige strengheid. Voorbeelden van dergelijke intuïtieve definities zijn "een set is een verzameling objecten", "natuurlijk nummer is wat wordt gebruikt voor het tellen "," een punt is een vorm met een nullengte in elke richting "," a kromme is een spoor achtergelaten door een bewegend punt ", enz.

Dit werd de Fundamentele crisis van wiskunde.^[16] Het werd uiteindelijk opgelost in reguliere wiskunde door de axiomatische methode binnen een geformaliseerde set -theorie. Ruwweg wordt elk wiskundig object gedefinieerd door de set van alle vergelijkbare objecten en de eigenschappen die deze objecten moeten hebben. Bijvoorbeeld in Peano -rekenkunde, de natuurlijke getallen worden gedefinieerd door "nul is een getal", "elk nummer heeft een unieke opvolger", "elk nummer maar nul heeft een unieke voorganger" en sommige redeneerregels. De "aard" van de op deze manier gedefinieerde objecten is een filosofisch probleem dat wiskundigen aan filosofen overlaten, zelfs als veel wiskundigen meningen hebben over deze aard en hun mening gebruiken - soms "intuïtie" genoemd - om hun studie en bewijzen te begeleiden.

Deze aanpak maakt het mogelijk om "Logics" te overwegen (dat wil zeggen sets van toegestane afleidingsregels), stellingen, bewijzen, enz. Als wiskundige objecten, en om stellingen over hen te bewijzen. Bijvoorbeeld, Gödel's onvolledigheid stellingen beweren, ruwweg gesproken dat, in elke theorie die de natuurlijke getallen bevat, er stellingen zijn die waar zijn (dat kan bewezen zijn in een grotere theorie), maar niet aantoonbaar binnen de theorie.

Deze benadering van de fundamenten van de wiskunde werd in de eerste helft van de 20e eeuw uitgedaagd door wiskundigen onder leiding van Brouwer, die promootte Intuïtionistische logica, die expliciet de wet van uitgesloten midden.

Deze problemen en debatten hebben geleid tot een brede uitbreiding van wiskundige logica, met subarea's zoals zoals modeltheorie (Modellering van enkele logische theorieën in andere theorieën), bewijstheorie, Typ Theory, rekenbaarheidstheorie en computationele complexiteitstheorie. Hoewel deze aspecten van wiskundige logica werden geïntroduceerd vóór de opkomst van computers, hun gebruik in compiler ontwerp, Programma -certificering, Bewijs assistenten en andere aspecten van computertechnologie, bijgedragen op zijn beurt aan de uitbreiding van deze logische theorieën.^[17]

Statistieken en andere beslissingswetenschappen

Toegepaste wiskunde heeft een aanzienlijke overlap met de discipline van statistieken, waarvan de theorie vooral wiskundig is geformuleerd waarschijnlijkheids theorie.^{[Definitie nodig]} Statistici (werken als onderdeel van een onderzoeksproject) "Creëer gegevens die zin hebben" met Willekeurige bemonstering en met gerandomiseerd experimenten;^[18] Het ontwerp van een statistisch monster of experiment geeft de analyse van de gegevens aan (voordat de gegevens beschikbaar komen). Bij het heroverwegen van gegevens van experimenten en monsters of bij het analyseren van gegevens van observatie studies, statistici "begrijpen de gegevens" met behulp van de kunst van modellering en de theorie van gevolgtrekking-met modelselectie en schatting; de geschatte modellen en consequent voorspellingen zou moeten zijn getest Aan nieuwe data.^{[verduidelijking nodig][d]}

Statistische theorie bestuderen Besluitproblemen zoals het minimaliseren van de risico (Verwacht verlies) van een statistische actie, zoals het gebruik van een procedure In bijvoorbeeld, bijvoorbeeld, Parameterschatting, Hypothesetesten, en Het beste selecteren. In deze traditionele gebieden van Wiskundige statistieken, een statistisch besluitprobleem wordt geformuleerd door een objectieve functie, zoals verwacht verlies of kosten, onder specifieke beperkingen: het ontwerpen van een enquête bijvoorbeeld omvat vaak het minimaliseren van de kosten voor het schatten van een populatiegemiddelde met een bepaald niveau van vertrouwen.^[19] Vanwege het gebruik van optimalisatie, de wiskundige theorie van statistieken overlapt met andere Beslissingswetenschappen, zoals Operations Research, controletheorie, en Wiskundige economie.^[20]

Computationele wiskunde

Computationele wiskunde is de studie van Wiskundige problemen die meestal te groot zijn voor menselijke, numerieke capaciteit. Numerieke analyse Studies methoden voor problemen in analyse gebruik makend van functionele analyse en benadering theorie; Numerieke analyse omvat breed de studie van benadering en discretisatie met speciale focus op ronde fouten. Numerieke analyse en, breder, wetenschappelijk computergebruik bestuderen ook niet-analytische onderwerpen van wiskundige wetenschap, vooral algoritmisch-Matrix-en-Graph -theorie. Andere gebieden van computationele wiskunde zijn onder meer Computeralgebra en symbolische berekening.

Geschiedenis

Oud

De geschiedenis van de wiskunde is een steeds groeiende serie van abstracties. Evolutionair gesproken, de eerste abstractie die ooit wordt ontdekt, een die door veel dieren wordt gedeeld,^[21] was waarschijnlijk dat van cijfers: het besef dat bijvoorbeeld een verzameling van twee appels en een verzameling van twee sinaasappels (zeg) iets gemeen hebben, namelijk dat er zijn twee van hen. Zoals blijkt uit versnellen op bot gevonden, naast het herkennen van hoe graaf fysieke objecten, prehistorisch Volkeren hebben misschien ook geweten hoe ze abstracte hoeveelheden kunnen tellen, zoals tijd - dagen, seizoenen of jaren.^[22][23]

De Babylonische wiskundige tablet Plimpton 322, gedateerd tot 1800 voor Christus

Bewijs voor meer complexe wiskunde verschijnt pas ongeveer 3000BC, wanneer de Babyloniërs en Egyptenaren begonnen te gebruiken rekenkundig, algebra, en geometrie voor belasting en andere financiële berekeningen, voor bouw en constructie, en voor astronomie.^[24] De oudste wiskundige teksten van Mesopotamie en Egypte zijn van 2000 tot 1800 voor Christus. Veel vroege teksten vermelden Pythagoras triples En dus, door conclusie, de de stelling van Pythagoras Lijkt het oudste en wijdverbreide wiskundige concept te zijn na fundamentele rekenkundige en geometrie. Het is in Babylonische wiskunde Dat Elementair rekenkunde (toevoeging, aftrekking, vermenigvuldiging, en divisie) Voor het eerst verschijnen in het archeologische record. De Babyloniërs bezaten ook een plaatswaarde-systeem en gebruikten een Sexagesimal Cijfersysteem dat nog steeds in gebruik is voor het meten van hoeken en tijd.^[25]

Euclid een kompas, zoals ingebeeld door Raphael In dit detail van De School of Athene^[e]

In de 6e eeuw voor Christus, Griekse wiskunde begon te verschijnen als een duidelijke discipline en sommige Oud Grieks zoals de Pythagoreeërs leek het op zichzelf als een onderwerp te hebben beschouwd.^[26] Ongeveer 300 v.Chr. Euclid georganiseerde wiskundige kennis door middel van postulaten en eerste principes, die evolueerden naar de axiomatische methode Dat wordt vandaag in de wiskunde gebruikt, bestaande uit definitie, axioma, stelling en bewijs.^[27] Zijn boek, Elementen, wordt algemeen beschouwd als het meest succesvolle en invloedrijke leerboek aller tijden.^[28] De grootste wiskundige van de oudheid wordt vaak geacht te zijn Archimedes (c. 287–212 v.Chr. Syracuse.^[29] Hij ontwikkelde formules voor het berekenen van het oppervlak en het volume van vaste stoffen van revolutie en gebruikte de uitputtingmethode Om de Oppervlakte onder de boog van een parabool met de Summatie van een oneindige serie, op een manier die niet al te verschillend is van de moderne calculus.^[30] Andere opmerkelijke prestaties van Griekse wiskunde zijn kegelafdeling (Apollonius van Perga, 3e eeuw v.Chr.),^[31] trigonometrie (Hipparchus van Nicaea, 2e eeuw v.Chr.),^[32] en het begin van algebra (Diophantus, 3e eeuw na Christus).^[33]

De cijfers die worden gebruikt in de Bakhshali -manuscript, gedateerd tussen de 2e eeuw voor Christus en de 2e eeuw na Christus

De Hindoe -Arabisch cijfersysteem en de regels voor het gebruik van zijn activiteiten, in gebruik over de hele wereld van vandaag, evolueerden in de loop van de eerste millennium advertentie in India en werden overgedragen aan de westerse wereld via Islamitische wiskunde. Andere opmerkelijke ontwikkelingen van de Indiase wiskunde zijn de moderne definitie en benadering van sinus en cosinus, en een vroege vorm van oneindige serie.

Middeleeuws en later

Een pagina van al-Khwārizmī's Algebra

Leonardo Fibonacci, de Italiaanse wiskundige die de Hindoe -Arabisch cijfersysteem Uitgevonden tussen de 1e en 4e eeuw door Indiase wiskundigen, naar de westerse wereld.

Tijdens de Gouden Eeuw van de islam, vooral in de 9e en 10e eeuw, zag de wiskunde veel belangrijke innovaties voortbouwend op Griekse wiskunde. De meest opvallende prestatie van Islamitische wiskunde was de ontwikkeling van algebra. Andere prestaties van de islamitische periode omvatten vooruitgang in bolvormige trigonometrie en de toevoeging van de decimale punt naar het Arabische cijfersysteem.^[34] Veel opmerkelijke wiskundigen uit deze periode waren Perzisch, zoals Al-Khwarismi, Omar Khayyam en Sharaf al-Dīn al-ṭūsī.

Tijdens de Vroege moderne periode, Wiskunde begon zich in een versnellend tempo te ontwikkelen West-Europa. De ontwikkeling van calculus door Isaac Newton en Gottfried Leibniz in de 17e eeuw revolutionair wiskunde. Leonhard Euler was de meest opvallende wiskundige van de 18e eeuw en bijdroeg talloze stellingen en ontdekkingen. Misschien was de belangrijkste wiskundige van de 19e eeuw de Duitse wiskundige Carl Gauss, die talloze bijdragen hebben geleverd aan velden zoals algebra, analyse, differentiële geometrie, matrixtheorie, nummer theorie, en statistieken. In het begin van de 20e eeuw, Kurt Gödel getransformeerde wiskunde door de zijne te publiceren Onvoldoende stellingen, die gedeeltelijk aantonen dat elk consistent axiomatisch systeem - indien krachtig genoeg om rekenkundige te beschrijven - echte stellingen zal bevatten die niet kunnen worden bewezen.

Wiskunde is sindsdien sterk uitgebreid, en er is een vruchtbare interactie tussen wiskunde en wetenschap, ten behoeve van beide. Wiskundige ontdekkingen worden tot op de dag van vandaag nog steeds gedaan. Volgens Mikhail B. Sevryuk, in het januari 2006 nummer van de Bulletin van de American Mathematical Society, "Het aantal artikelen en boeken opgenomen in de Wiskundige beoordelingen Database sinds 1940 (het eerste jaar van de werking van MR) is nu meer dan 1,9 miljoen en elk jaar meer dan 75 duizend items worden aan de database toegevoegd. De overgrote meerderheid van de werken in deze oceaan bevat nieuwe wiskundige stellingen en hun bewijzen. "^[35]

Symbolische notatie en terminologie

Leonhard Euler Veel van de wiskundige notatie gemaakt en populair gemaakt die tegenwoordig werd gebruikt.

Wiskundige notatie wordt veel gebruikt in de wiskunde, wetenschap, en engineering voor het vertegenwoordigen van complex concepten en eigendommen Op een beknopte, ondubbelzinnige en nauwkeurige manier.

Wiskundige notatie bestaat uit het gebruik symbolen voor het vertegenwoordigen activiteiten, niet gespecificeerd cijfers, relaties en elke andere Wiskundige objectenen ze in elkaar zetten uitingen en formules.

Meer precies, getallen en andere wiskundige objecten worden weergegeven door symbolen die worden genoemd variabelen, die in het algemeen zijn Latijns of Grieks letters, en neem vaak op Subscripts. Bediening en relaties worden over het algemeen weergegeven door specifiek glyphs, zoals + (plus), × (vermenigvuldiging), ${\ textstyle \ int}$ (integraal), = (Gelijk), < (minder dan). Al deze symbolen zijn over het algemeen gegroepeerd volgens specifieke regels om uitdrukkingen en formules te vormen. Normaal gesproken verschijnen uitdrukkingen en formules niet alleen, maar worden opgenomen in zinnen van de huidige taal, waarbij uitdrukkingen de rol van spelen zelfstandig naamwoord zinnen en formules spelen de rol van clausules.

Veel technische termen die in de wiskunde worden gebruikt, zijn vaak neologismen, zoals polynoom en Homeomorfisme. Veel andere technische termen zijn woorden van de gemeenschappelijke taal die worden gebruikt in een nauwkeurige betekenis die enigszins kan verschillen van hun gemeenschappelijke betekenis. Bijvoorbeeld in de wiskunde, "of"Betekent" de ene, de andere of beide ", hoewel het in gemeenschappelijke taal amigueus is of betekent" het ene of de ander maar niet beide "(in de wiskunde wordt de laatste" genoemd "exclusief of").

Ook zijn veel wiskundige termen veel voorkomende woorden die worden gebruikt met een compleet andere betekenis. Dit kan leiden tot zinnen die correct zijn en echte wiskundige beweringen, maar lijken onzin te zijn voor mensen die niet de vereiste achtergrond hebben. Bijvoorbeeld, "elk Gratis module is vlak" en "a veld is altijd een ring".

Relatie met de wetenschap

Carl Friedrich Gauss, bekend als de prins van wiskundigen

Er is nog steeds een filosofisch Debat of wiskunde een wetenschap. In de praktijk zijn wiskundigen echter meestal gegroepeerd met wetenschappers en de wiskunde deelt veel gemeen met de fysieke wetenschappen. Net als zij is het vervalbaarwat in de wiskunde betekent dat, als het resultaat of een theorie verkeerd is, dit kan worden bewezen door een tegenvoorbeeld. Evenzo als in de wetenschap, theorieën en resultaten (stellingen) worden vaak verkregen uit experimenteren.^[36] In de wiskunde kan de experimenten bestaan ​​uit berekening op geselecteerde voorbeelden of uit de studie van figuren of andere representaties van wiskundige objecten (vaak mind representaties zonder fysieke ondersteuning). Bijvoorbeeld, toen hem werd gevraagd hoe hij de zijne is ontstaan stellingen, Gauss (Een van de grootste wiskundigen van de 19e eeuw) antwoordde ooit "Durch Planmässiges tattonieren" (door systematische experimenten).^[f] Sommige auteurs benadrukken echter dat wiskunde verschilt van de moderne notie van de wetenschap door niet Vertrouwen Aan empirisch bewijs.^{[37][38][39][40]}

Wat voorafgaat, is slechts één aspect van de relatie tussen wiskunde en andere wetenschappen. Andere aspecten worden in de volgende paragrafen beschouwd.

Pure en toegepaste wiskunde

Isaac Newton (links) en Gottfried Wilhelm Leibniz ontwikkelde oneindige calculus.

Tot het einde van de 19e eeuw werd de ontwikkeling van de wiskunde voornamelijk gemotiveerd door de behoeften van technologie en wetenschap, en er was geen duidelijk onderscheid tussen pure en toegepaste wiskunde. Bijvoorbeeld de natuurlijke getallen en rekenkundig werden geïntroduceerd voor de noodzaak van tellen, en geometrie werd gemotiveerd door onderzoek, architectuur en astronomie. Later, Isaac Newton ingevoerd oneindigimale calculus voor het uitleggen van de beweging van de planeten met zijn gravitatiewet. Bovendien waren de meeste wiskundigen ook wetenschappers, en veel wetenschappers waren ook wiskundigen. Er is echter een opmerkelijke uitzondering opgetreden in Het oude Griekenland; zien Pure Mathematics § Ancient Griekenland.

In de tweede helft van de 19e eeuw werden nieuwe wiskundige theorieën geïntroduceerd die niet gerelateerd waren aan de fysieke wereld (althans op dat moment), in het bijzonder, niet-Euclidische geometrieën en Cantor's theorie van Transfinite -getallen. Dit was een van de uitgangspunten van de Fundamentele crisis van wiskunde, die uiteindelijk werd opgelost door de systematisering van de axiomatische methode voor het definiëren Wiskundige structuren.

Dus veel wiskundigen concentreerden hun onderzoek op interne problemen, dat wil zeggen, pure wiskunde, en dit leidde tot gesplitste wiskunde in pure wiskunde en toegepaste wiskunde, de laatste wordt vaak beschouwd als een lagere waarde.

In de tweede helft van de 20e eeuw bleek dat veel theorieën die uit applicaties zijn uitgegeven ook interessant zijn vanuit het oogpunt van pure wiskunde, en dat veel resultaten van pure wiskunde toepassingen hebben buiten de wiskunde (zie volgende sectie); Op zijn beurt kan de studie van deze toepassingen nieuwe inzichten geven over de "pure theorie". Een voorbeeld van het eerste geval is de theorie van distributies, voorgesteld door Laurent Schwartz voor het valideren van berekeningen die zijn gedaan in kwantummechanica, dat onmiddellijk een belangrijk hulpmiddel van (puur) werd wiskundige analyse. Een voorbeeld van het tweede geval is de Beslisbaarheid van de eerste-orde theorie van de reële getallen, een probleem van pure wiskunde dat waar werd gebleken door Alfred Tarski, Met een algoritme dat is absoluut onmogelijk implementeren, vanwege een computationele complexiteit dat is veel te hoog. Voor het krijgen van een algoritme dat kan worden geïmplementeerd en kan systemen van polynoomvergelijkingen en ongelijkheden oplossen, George Collins geïntroduceerd de cilindrische algebraïsche ontleding dat werd een fundamenteel hulpmiddel in Echte algebraïsche geometrie.

Het onderscheid tussen pure en toegepaste wiskunde is dus momenteel meer een kwestie van persoonlijk onderzoeksdoel van wiskundigen dan een divisie van wiskunde in brede gebieden. De Wiskundige onderwerpclassificatie vermeldt geen "pure wiskunde" noch "toegepaste wiskunde". Deze termen worden echter nog steeds gebruikt in namen van sommigen Universiteit afdelingen, zoals op de Faculteit van wiskunde bij de Universiteit van Cambridge.

Onredelijke effectiviteit

De onredelijke effectiviteit van wiskunde^[8] is een fenomeen dat werd genoemd en voor het eerst expliciet werd gemaakt door fysicus Eugene Wigner. Het is het feit dat veel wiskundige theorieën, zelfs de "puurste", toepassingen hebben buiten hun oorspronkelijke object. Deze toepassingen kunnen volledig buiten hun eerste wiskundegebied liggen en kunnen betrekking hebben op fysieke fenomenen die volledig onbekend waren toen de wiskundige theorie werd geïntroduceerd.

Een beroemd voorbeeld is de ontbinding in priemfactoren van natuurlijke getallen Dat werd meer dan 2000 jaar ontdekt vóór het gemeenschappelijke gebruik voor veilig internet communicatie via de RSA cryptosysteem.

Een ander historisch voorbeeld is de theorie van ellipsen. Ze werden bestudeerd door de Oude Griekse wiskundigen net zo kegelafdeling (dat wil zeggen kruispunten van kegel met vlakken). Het is bijna 2000 jaar later Johannes Kepler ontdekte dat de trajecten van de planeten zijn ellipsen.

In de 19e eeuw, de interne ontwikkeling van geometrie (pure wiskunde) leiden tot definiëren en studeren niet-Euclidische geometrieën, spaties van dimensie hoger dan drie en verdeelstukken. Op dit moment leken deze concepten volledig losgekoppeld van de fysieke realiteit, maar aan het begin van de 20e eeuw, Albert Einstein ontwikkeld de relativiteitstheorie Dat gebruikt deze concepten fundamenteel. Vooral, ruimte tijd van de speciale relativiteit is een niet-euclidische ruimte van dimensie vier, en ruimtetijd van de algemene relativiteitstheorie is een (gebogen) verdeelstuk van dimensie vier.

Soortgelijke voorbeelden van onverwachte toepassingen van wiskundige theorieën zijn te vinden op veel wiskundegebieden.

Een ander opvallend aspect van de interactie tussen wiskunde en natuurkunde is wanneer wiskunde onderzoek in de natuurkunde stimuleert. Dit wordt geïllustreerd door de ontdekkingen van de positron en de baryon ${\ DisplayStyle \ Omega ^{-}.}$ In beide gevallen hadden de vergelijkingen van de theorieën onverklaarbare oplossingen, wat leidde tot het bestaan ​​van het bestaan ​​van een onbekend deeltjeen om deze deeltjes te doorzoeken. In beide gevallen werden deze deeltjes enkele jaren later ontdekt door specifieke experimenten.^[41]

Het verband tussen abstracte wiskunde en materiële realiteit heeft geleid tot filosofische debatten sinds ten minste de tijd van Pythagoras. De oude filosoof Plato betoogde dat dit mogelijk was omdat de materiële realiteit abstracte objecten weerspiegelt die buiten de tijd bestaan. Dientengevolge wordt de opvatting dat wiskundige objecten op de een of andere manier in abstractie op de een of andere manier bestaan ​​vaak aangeduid als Platonisme. Hoewel de meeste wiskundigen zich meestal niet bezighouden met filosofische vragen, kunnen ze over het algemeen worden beschouwd als platonisten, omdat ze aan hun studieobjecten als echte objecten beschouwen en praten.^[42] Niettemin, platonisme en de gelijktijdige opvattingen over abstractie Leg de onredelijke effectiviteit van wiskunde niet uit.

Filosofie

Voorgestelde definities

Er is geen algemene consensus over de exacte definitie of epistemologische status van wiskunde.^[43][44] Heel veel professionele wiskundigen hebben geen interesse in een definitie van wiskunde, of beschouwen het als onbetwistbaar.^[43] Er is zelfs geen consensus over de vraag of wiskunde een kunst of een wetenschap is.^[44] Sommigen zeggen gewoon: "Wiskunde is wat wiskundigen doen."^[43]

Aristoteles Gedefinieerde wiskunde als "de wetenschap van kwantiteit" en deze definitie heerste tot de 18e eeuw. Aristoteles merkte echter ook op dat een focus op kwantiteit alleen mogelijk geen wiskunde onderscheidt van wetenschappen zoals fysica; Naar zijn mening onderscheiden abstractie en het bestuderen van kwantiteit als een eigenschap "scheidbaar in gedachten" van echte gevallen wiskunde onderscheiden.^[45]

In de 19e eeuw, toen de studie van de wiskunde in strengheid toenam en abstracte onderwerpen begon aan te pakken, zoals zoals groepstheorie en projectieve geometrie, die geen duidelijke relatie hebben met kwantiteit en meting, wiskundigen en filosofen begonnen verschillende nieuwe definities voor te stellen.^[46] Tot op de dag van vandaag blijven filosofen vragen aanpakken in Wiskundefilosofie, zoals de aard van Wiskundig bewijs.^[47]

Logica en strengheid

Wiskundigen streven ernaar hun resultaten te ontwikkelen met systematisch redeneren om verkeerde "stellingen" te voorkomen. Deze Valse bewijzen komen vaak voort uit feilbare intuïties en zijn gebruikelijk in de geschiedenis van de wiskunde. Toelaten deductieve redenering, Sommige basisaannames moeten expliciet worden toegelaten als axioma's. Traditioneel werden deze axioma's geselecteerd op grond van gezond verstand, maar moderne axioma's uitdrukken meestal formele garanties voor primitieve begrippen, zoals eenvoudige objecten en relaties.

De geldigheid van een Wiskundig bewijs is fundamenteel een kwestie van strengheid, en misverstand rigor is een opmerkelijke reden voor enkele veel voorkomende misvattingen over wiskunde. Wiskundige taal kan meer precisie geven dan in de dagelijkse spraak voor gewone woorden zoals of en enkel en alleen. Andere woorden zoals open en veld krijgen nieuwe betekenissen voor specifieke wiskundige concepten. Soms munten wiskundigen zelfs geheel nieuwe woorden (bijv. Homeomorfisme). Deze technische woordenschat is zowel nauwkeurig als compact, waardoor het mogelijk is om mentaal complexe ideeën te verwerken. Wiskundigen verwijzen naar deze precisie van taal en logica als "strengheid".

De in de wiskunde verwachte strengheid is in de loop van de tijd variëren: de oude Grieken verwacht gedetailleerde argumenten Isaac Newton's tijd, de gebruikte methoden waren minder rigoureus (niet vanwege een andere opvatting van wiskunde, maar vanwege het ontbreken van de wiskundige methoden die nodig zijn om strengheid te bereiken). Problemen die inherent zijn aan de aanpak van Newton werden pas in de tweede helft van de 19e eeuw opgelost, met de formeel Definities van echte getallen, grenzen en integralen. Later in het begin van de 20e eeuw, Bertrand Russell en Alfred North Whitehead zou hun publiceren Principia Mathematica, een poging om aan te tonen dat alle wiskundige concepten en uitspraken kunnen worden gedefinieerd en vervolgens volledig bewezen door symbolische logica. Dit maakte deel uit van een breder filosofisch programma dat bekend staat als logicisme, die wiskunde beschouwt als in de eerste plaats een uitbreiding van logica.

Ondanks de concurrentie van de wiskunde, vereisen veel bewijzen dat honderden pagina's uiten. De opkomst van computerondersteunde bewijzen heeft de bewijslengtes verder kunnen uitbreiden. Assisted Proofs kunnen onjuist zijn als de bewijzende software fouten heeft.^[g][48] Aan de andere kant, Bewijs assistenten Sta de verificatie toe van details die niet in een handgeschreven bewijs kunnen worden gegeven en geef zekerheid van de juistheid van lange bewijzen zoals die van de 255 pagina's Feit - Thompson Stelling.^[h]

Psychologie (esthetiek, creativiteit en intuïtie)

De geldigheid van een wiskundige stelling is alleen afhankelijk van de strengheid van het bewijs, dat theoretisch automatisch kan worden gedaan door een computerprogramma. Dit betekent niet dat er geen plaats is voor creativiteit in een wiskundig werk. Integendeel, veel belangrijke wiskundige resultaten (stellingen) zijn oplossingen van problemen die andere wiskundigen niet hebben opgelost, en de uitvinding van een manier om ze op te lossen kan een fundamentele manier van het oplossende proces zijn. Een extreem voorbeeld is De stelling van de apery: Roger -apery leverde alleen de ideeën voor een bewijs en het formele bewijs werd slechts enkele maanden later gegeven door drie andere wiskundigen.

Creativiteit en strengheid zijn niet de enige psychologische aspecten van de activiteit van wiskundigen.

Veel wiskundigen zien hun activiteit als een spel, meer specifiek als oplossen puzzels. Dit aspect van wiskundige activiteit wordt benadrukt in Recreatieve wiskunde.

Veel wiskundigen geven ook een stijlvol waarde voor wiskunde. Graag willen schoonheid, het is moeilijk te definiëren, het is vaak gerelateerd aan elegantie, die betrekking hebben op kwaliteiten zoals eenvoud, symmetrie, volledigheid en algemeenheid. G. H. Hardy in De verontschuldiging van een wiskundige uitte de overtuiging dat de esthetische overwegingen op zichzelf voldoende zijn om de studie van pure wiskunde te rechtvaardigen. Hij identificeerde ook andere criteria zoals betekenis, onverwachtheid en onvermijdelijkheid, die bijdragen aan wiskundige esthetiek.^[49]

Paul Erdős drukte dit sentiment meer ironischer uit door te spreken over "The Book", een veronderstelde goddelijke verzameling van de mooiste bewijzen. Het boek 1998 Bewijzen uit het boek, geïnspireerd door Erdős, is een verzameling bijzonder beknopte en onthullende wiskundige argumenten. Enkele voorbeelden van bijzonder elegante resultaten zijn inbegrepen EuclidHet bewijs dat er oneindig veel zijn priemgetallen en de Snelle Fourier -transformatie voor harmonische analyse.

Sommigen zijn van mening dat het beschouwen van wiskunde een wetenschap is om zijn kunstenaarschap en geschiedenis te bagatelliseren in de zeven traditionele vrije kunsten.^[50] Een manier waarop dit verschil in gezichtspunt zich afspeelt, is in het filosofische debat over de vraag of wiskundige resultaten zijn gecreëerd (zoals in kunst) of ontdekt (zoals in de wetenschap).^[41] De populariteit van Recreatieve wiskunde is een ander teken van het plezier dat velen vinden bij het oplossen van wiskundige vragen.

In de 20e eeuw, de wiskundige L. E. J. Brouwer Zelfs een filosofisch perspectief opgestart dat bekend staat als intuïtionisme, die voornamelijk wiskunde identificeert met bepaalde creatieve processen in de geest.^[51] Intuïtionisme is op zijn beurt een smaak van een houding bekend als constructivisme, die alleen een wiskundig object als geldig beschouwt als het direct kan worden geconstrueerd, niet alleen indirect gegarandeerd door logica. Dit leidt ertoe dat toegewijde constructivisten bepaalde resultaten afwijzen, met name argumenten zoals existentiële bewijzen gebaseerd op de wet van uitgesloten midden.^[52]

Uiteindelijk worden noch constructivisme noch intuïtionisme verplaatst klassieke wiskunde of mainstream acceptatie bereikt. Deze programma's hebben echter specifieke ontwikkelingen gemotiveerd, zoals Intuïtionistische logica en andere fundamentele inzichten, die op zichzelf worden gewaardeerd.^[52]

Opleiding

Wiskunde heeft een opmerkelijk vermogen om culturele grenzen en tijdsperioden te overschrijden. Als een menselijke activiteit, de praktijk van wiskunde heeft een sociale kant, die omvat opleiding, carrière, herkenning, popularisatie, enzovoort. In het onderwijs is wiskunde een kernonderdeel van het curriculum. Hoewel de inhoud van cursussen varieert, leren veel landen in de wereld wiskunde aan studenten voor aanzienlijke hoeveelheden tijd.^[53]

Awards en prijzenproblemen

De voorkant van de Velden medaille

De meest prestigieuze prijs in de wiskunde is de Velden medaille,^[54][55] opgericht in 1936 en om de vier jaar toegekend (behalve rond Tweede Wereldoorlog) voor maximaal vier individuen.^[56][57] Het wordt beschouwd als het wiskundige equivalent van de Nobelprijs.^[57]

Andere prestigieuze wiskundeprijzen zijn onder meer:

• De Abel Prize, ingesteld in 2002^[58] en voor het eerst toegekend in 2003^[59]
• De Chern -medaille voor levenslange prestaties, geïntroduceerd in 2009^[60] en voor het eerst toegekend in 2010^[61]
• De Wolf Prize in Mathematics, ook voor levenslange prestatie,^[62] ingesteld in 1978^[63]

Een beroemde lijst van 23 Open problemen, genaamd "Hilbert's problemen", werd in 1900 samengesteld door de Duitse wiskundige David Hilbert.^[64] Deze lijst heeft een grote beroemdheid bereikt onder wiskundigen^[65]en, vanaf 2022, zijn ten minste dertien van de problemen (afhankelijk van hoe sommige worden geïnterpreteerd) opgelost.^[66]

Een nieuwe lijst met zeven belangrijke problemen, getiteld de "Millennium Prize -problemen", werd gepubliceerd in 2000. Slechts een van hen, de Riemann -hypothese, dupliceert een van de problemen van Hilbert. Een oplossing voor een van deze problemen heeft een beloning van 1 miljoen dollar.^[67] Tot op heden, slechts één van deze problemen, de Poincaré vermoeden, is opgelost.^[68]

Zie ook

Aantekeningen

Referenties

Bibliografie

Verder lezen