Wiskundige misvatting

In wiskunde, bepaalde soorten verkeerd bewijs worden vaak tentoongesteld en soms verzameld als illustraties van een concept genaamd Wiskundige misvatting. Er is een onderscheid tussen een eenvoudige vergissing en een Wiskundige misvatting In een bewijs, in die zin dat een fout in een bewijs leidt tot een ongeldig bewijs, terwijl in de bekendste voorbeelden van wiskundige denkfouten een element van verborgen of bedrog is bij de presentatie van het bewijs.

De reden waarom geldigheid mislukt kan bijvoorbeeld worden toegeschreven aan een deling door nul Dat wordt verborgen door algebraïsche notatie. Er is een bepaalde kwaliteit van de wiskundige misvatting: zoals meestal gepresenteerd, leidt het niet alleen tot een absurd resultaat, maar doet dit alleen op een sluwe of slimme manier.^[1] Daarom nemen deze denkfouten, om pedagogische redenen, meestal de vorm aan van vals bewijzen van de hand liggend tegenstrijdigheden. Hoewel de bewijzen gebrekkig zijn, zijn de fouten, meestal per ontwerp, relatief subtiel of ontworpen om aan te tonen dat bepaalde stappen voorwaardelijk zijn en niet van toepassing zijn in de gevallen die de uitzonderingen op de regels zijn.

De traditionele manier om een ​​wiskundige misvatting te presenteren, is door een ongeldige stap van aftrek te geven met geldige stappen, zodat de betekenis van misvatting is hier iets anders dan de logische denkfout. Dit laatste is meestal van toepassing op een vorm van argument die niet voldoet aan de geldige inferentieregels van logica, terwijl de problematische wiskundige stap meestal een correcte regel is die wordt toegepast met een stilzwijgende verkeerde veronderstelling. Naast pedagogiek kan de resolutie van een misvatting leiden tot diepere inzichten in een onderwerp (bijvoorbeeld de introductie van Pasch's Axiom van Euclidische geometrie,^[2] de Vijf kleurstelling van Graph -theorie). Pseudaria, een oud verloren boek van valse bewijzen, wordt toegeschreven aan Euclid.^[3]

Wiskundige denkfouten bestaan ​​in veel wiskundetakken. In Elementaire algebra, typische voorbeelden kunnen een stap inhouden waar deling door nul wordt uitgevoerd, waar een wortel is onjuist geëxtraheerd of, meer in het algemeen, waar verschillende waarden van een Meerdere gewaardeerde functie worden gelijkgesteld. Bekende denkfouten bestaan ​​ook in elementaire Euclidische geometrie en calculus.^[4][5]

Huilers

${\displaystyle {\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d} } {\ dfrac {1} {x^{2}}}} \\ = {\ dfrac {d \! \! \! \ backslash} {d \! \! \! \ backSlash}} {\ dfrac {1} {x^{2}}}} \\ =-{\ dfrac {1} {x^{2}}} \ end {array}}}$

Abnormale annulering in calculus

Voorbeelden bestaan ​​uit wiskundig correcte resultaten die zijn afgeleid door onjuiste redeneringslijnen. Een dergelijk argument, hoe waar ook de conclusie lijkt te zijn, is wiskundig ongeldig en wordt algemeen bekend als een huiler. Het volgende is een voorbeeld van een howler met betrekking tot abnormale annulering:

$${\ displayStyle {\ frac {16} {64}} = {\ frac {16 \! \! \!/} {6 \! \! \!/4}} = {\ frac {1}}}} .}$$

Hier, hoewel de conclusie 16/64 = 1/4 is correct, er is een misleidende, ongeldige annulering in de middelste stap.^{[notitie 1]} Een ander klassiek voorbeeld van een howler is Bewijs de stelling van Cayley - Hamilton door eenvoudigweg de scalaire variabelen van de karakteristieke polynoom door de matrix te vervangen.

Bekgusbewijzen, berekeningen of afleidingen die zijn geconstrueerd om een ​​correct resultaat te produceren, ondanks onjuiste logica of bewerkingen werden door Maxwell "Howlers" genoemd.^[2] Buiten het veld van de wiskunde de term huiler heeft verschillende betekenissen, over het algemeen minder specifiek.

Deling door nul

De Divisie per nul Fallacy heeft veel varianten. Het volgende voorbeeld gebruikt een vermomde divisie met nul om dat 2 = 1 te "bewijzen", maar kan worden aangepast om te bewijzen dat elk getal gelijk is aan een ander nummer.

1. Laten a en b gelijk zijn, niet nul -hoeveelheden

   ${\ displaystyle a = b}$

2. Vermenigvuldigen met a

   ${\ displaystyle a^{2} = ab}$

3. Aftrekken b²

   ${\ displaystyle a^{2} -b^{2} = ab-b^{2}}$

4. Factor Beide zijden: de linkse factoren als een Verschil van vierkanten, het recht wordt verwerkt door te extraheren b Uit beide termen

   ${\ displaystyle (a-b) (a+b) = b (a-b)}$

5. Deel uit (a − b))

   ${\ displaystyle a+b = b}$

6. Gebruik het feit dat a = b

   ${\ displaystyle b+b = b}$

7. Combineer als voorwaarden links

   ${\ displaystyle 2b = b}$

8. Divide door de niet-nul b

   ${\ DisplayStyle 2 = 1}$

V.E.D.^[6]

De misvatting is in lijn 5: De progressie van lijn 4 naar regel 5 omvat divisie door a-b, wat sindsdien nul is a=b. Sinds deling door nul is niet gedefinieerd, het argument is ongeldig.

Analyse

Wiskundige analyse als de wiskundige studie van verandering en grenzen kan leiden tot wiskundige denkfouten - als de eigenschappen van integralen en differentials worden genegeerd. Bijvoorbeeld een naïef gebruik van Integratie door onderdelen kan worden gebruikt om een ​​vals bewijs te geven dat 0 = 1.^[7] Verhuur u=1/aanroepen x en dv=dx/x, we kunnen schrijven:

${\ displayStyle \ int {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx = 1+\ int {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx}$

waarna de antiderivaten kunnen worden geannuleerd, levert 0 = 1. Het probleem is dat antiderivaten alleen zijn gedefinieerd tot a constante en ze verschuiven met 1 of inderdaad een getal is toegestaan. De fout komt echt aan het licht wanneer we willekeurige integratielimieten introduceren a en b.

${\ displayStyle \ int _ {a}^{b} {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx = 1 | _ {a}^{b}+\ int _ {a}^ {b} {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx = 0+\ int _ {a}^{b} {\ frac {1} {x \ log x}} \, dx = \ int _ {a}^{b} {\ frac {1} {x \ log x}} \, dx}$

Omdat het verschil tussen twee waarden van een constante functie verdwijnt, verschijnt dezelfde definitieve integrale aan beide zijden van de vergelijking.

Functies met meerdere opkopen

Veel functies hebben geen uniek omgekeerd. Hoewel het kwadrateren van een nummer bijvoorbeeld een unieke waarde geeft, zijn er twee mogelijk wortels van een positief getal. De vierkantswortel is multivaled. Één waarde kan door conventie worden gekozen als de hoofdwaarde; In het geval van de vierkantswortel is de niet-negatieve waarde de hoofdwaarde, maar er is geen garantie dat de vierkantswortel wordt gegeven als de hoofdwaarde van het vierkant van een getal gelijk zal zijn aan het oorspronkelijke getal (bijvoorbeeld de hoofdkantoor van vierkant van het vierkant van −2 is 2). Dit blijft waar voor nde wortels.

Positieve en negatieve wortels

Zorg moet worden besteed bij het nemen van de vierkantswortel van beide zijden van een gelijkwaardigheid. Als u dit niet doet, resulteert er in een "bewijs" van^[8] 5 = 4.

Een bewijs:

Start van

${\ displaystyle -20 = -20}$

Schrijf dit als

${\ DisplayStyle 25-45 = 16-36}$

Herschrijven als

${\ DisplayStyle 5^{2} -5 \ maal 9 = 4^{2} -4 \ maal 9}$

Toevoegen 81/4 aan beide kanten:

${\ displaystyle 5^{2} -5 \ maal 9+{\ frac {81} {4}} = 4^{2} -4 \ maal 9+{\ frac {81} {4}}}}$

Dit zijn perfecte vierkanten:

${\ displayStyle \ Left (5-{\ frac {9} {2}} \ rechts)^{2} = \ links (4-{\ frac {9} {2}} \ rechts)^{2}}$

Neem de vierkantswortel van beide kanten:

${\ DisplayStyle 5-{\ frac {9} {2}} = 4-{\ frac {9} {2}}}$

Toevoegen 9/2 aan beide kanten:

${\ DisplayStyle 5 = 4}$

V.E.D.

De misvatting is in de voorlaatste lijn, waar de vierkantswortel van beide zijden wordt genomen: a²=b² impliceert alleen a=b als a en b Heb hetzelfde teken, wat hier niet het geval is. In dit geval impliceert het dat a= -b, dus de vergelijking moet lezen

${\ displaystyle 5-{\ frac {9} {2}} =-\ left (4-{\ frac {9} {2}} \ rechts)}$

die, door toe te voegen 9/2 Aan beide zijden vermindert correct tot 5 = 5.

Een ander voorbeeld dat het gevaar illustreert om de vierkantswortel van beide zijden van een vergelijking te nemen, omvat de volgende fundamentele identiteit^[9]

${\ displaystyle \ cos ^{2} x = 1- \ sin ^{2} x}$

die geldt als gevolg van de de stelling van Pythagoras. Dan, door een vierkante wortel te nemen,

${\ displaystyle \ cos x = {\ sqrt {1- \ sin ^{2} x}}}$

Dit evalueren wanneer x=π , dat krijgen we

${\ displaystyle -1 = {\ sqrt {1-0}}}$

of

${\ displaystyle -1 = 1}$

wat onjuist is.

De fout in elk van deze voorbeelden ligt fundamenteel in het feit dat elke vergelijking van de vorm

${\ displaystyle x^{2} = a^{2}}$

waar ${\ displaystyle a \ neq 0}$, heeft twee oplossingen:

${\ displaystyle x = \ pm a}$

En het is essentieel om te controleren welke van deze oplossingen relevant is voor het probleem van het probleem.^[10] In de bovengenoemde misvatting is de vierkantswortel waardoor de tweede vergelijking uit de eerste kan worden afgeleidx is positief. In het bijzonder wanneer x staat op π, de tweede vergelijking wordt ongeldig gemaakt.

Vierkante wortels van negatieve getallen

Ongeldige bewijzen met behulp van krachten en wortels zijn vaak van de volgende soort:

${\ displaystyle 1 = {\ sqrt {1}} = {\ sqrt {(-1) (-1)}} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} = i \ cdot i = -1.}$

De misvatting is dat de regel ${\ DisplayStyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}$ is over het algemeen alleen geldig als ten minste één van ${\ displaystyle x}$ en ${\ displaystyle y}$ is niet-negatief (bij het omgaan met reële getallen), wat hier niet het geval is.^[11]

Als alternatief worden denkbeeldige wortels in het volgende verdoezeld:

${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}} = \ links (-1 \ rechts)^{\ frac {2} {4}} = \ links (\ links (-1 \ rechts)^{2} \ rechts)^{\ frac {1} {4}} = 1^{\ frac {1} {4}} = 1}$

De fout hier ligt in de derde gelijkheid, als regel ${\ displaystyle a^{bc} = (a^{b})^{c}}$ geldt alleen voor positief reëel a en echt b, c.

Complexe exponenten

Wanneer een nummer naar een complexe kracht wordt verhoogd, wordt het resultaat niet uniek gedefinieerd (zie Exponentiatie § Falen van macht en logaritme -identiteiten). Als deze eigenschap niet wordt herkend, kunnen fouten zoals het volgende resulteren:

${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} e^{2 \ pi i} & = 1 \\\ links (e^{2 \ pi i} \ rechts)^{i} & = 1^{i} \\ e ^{-2 \ pi} & = 1 \\\ end {uitgelijnd}}}$

De fout hier is dat de regel om exponenten te vermenigvuldigen, zoals wanneer het naar de derde regel gaat niet ongewijzigd is met complexe exponenten, zelfs als bij het plaatsen van beide partijen op de macht i Alleen de hoofdwaarde wordt gekozen. Indien behandeld als Functies met meerdere opkopen, beide zijden produceren dezelfde reeks waarden, die zijn {e^2πn | n ∈ ℤ}.

Geometrie

Veel wiskundige denkfouten in geometrie Komt voort uit het gebruik van een additieve gelijkheid met georiënteerde hoeveelheden (zoals het toevoegen van vectoren langs een bepaalde lijn of het toevoegen van georiënteerde hoeken in het vlak) aan een geldige identiteit, maar die alleen de absolute waarde van (een van) deze hoeveelheden vaststelt. Deze hoeveelheid wordt vervolgens opgenomen in de vergelijking met de verkeerde oriëntatie, om een ​​absurde conclusie te produceren. Deze verkeerde oriëntatie wordt meestal impliciet gesuggereerd door een onnauwkeurig diagram van de situatie te leveren, waarbij relatieve posities van punten of lijnen worden gekozen op een manier die eigenlijk onmogelijk is onder de hypothesen van het argument, maar niet voor de hand liggend.

Over het algemeen is een dergelijke misvatting gemakkelijk bloot te leggen door een nauwkeurig beeld van de situatie te maken, waarin sommige relatieve posities zullen verschillen van die in het verstrekte diagram. Om dergelijke denkfouten te voorkomen, moet een correct geometrisch argument met toevoeging of aftrekking van afstanden of hoeken altijd bewijzen dat hoeveelheden worden opgenomen met hun juiste oriëntatie.

Misvatting van de gelijkbenige driehoek

De misvatting van de gelijkbenige driehoek, van (Maxwell 1959, Hoofdstuk II, § 1), beweert aan te tonen dat elk driehoek is gelijkbenig, wat betekent dat twee zijden van de driehoek zijn congruent. Deze misvatting was bekend Lewis Carroll en kan door hem zijn ontdekt. Het werd gepubliceerd in 1899.^[12][13]

Gegeven een driehoek △ ABC, bewij dat AB = AC:

1. Teken een lijn doorboren ∠a.
2. Teken de loodrechte bissector van segment BC, die BC in een punt D.
3. Laat deze twee lijnen elkaar op een punt O.
4. Teken lijn of loodrecht op AB, lijn OQ loodrecht op AC.
5. Teken lijnen OB en OC.
6. Door Aas, △ rao ≅ △ qao (∠ora = ∠oqa = 90 °; ∠rao = ∠qao; ao = ao (gemeenschappelijke zijde)).
7. Door RHS,^{[Opmerking 2]} △ Rob ≅ △ qoC (∠bro = ∠cqo = 90 °; bo = oc (hypotenuse); ro = oq (been)).
8. Dus ar = aq, rb = qc en ab = ar + rb = aq + qc = ac.

V.E.D.

Als een uitweg kan men aantonen dat alle driehoeken gelijkwaardig zijn, door aan te tonen dat AB = BC en AC = BC op dezelfde manier.

De fout in het bewijs is de veronderstelling in het diagram dat het punt O is binnen de driehoek. In feite ligt O altijd op de omloopcirkel van de △ ABC (behalve voor gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken waar AO en OD samenvallen). Verder kan worden aangetoond dat, als AB langer is dan AC, R zal liegen binnenin AB, terwijl Q zal liegen buiten van AC, en vice versa (in feite zal elk diagram getekend met voldoende nauwkeurige instrumenten de bovenstaande twee feiten verifiëren). Daarom is AB nog steeds AR+RB, maar AC is eigenlijk aq - QC; en dus zijn de lengtes niet noodzakelijk hetzelfde.

Bewijs door inductie

Er bestaan ​​verschillende misleidingen Bewijzen door inductie waarin een van de componenten, basiscase of inductieve stap, onjuist is. Intuïtief werken bewijzen door inductie door te beweren dat als een verklaring in het ene geval waar is, dit in het volgende geval waar is, en daarom door dit toe te passen, kan het voor alle gevallen waar zijn. Het volgende "bewijs" laat dat zien Alle paarden hebben dezelfde kleur.^{[14][notitie 3]}

1. Laten we zeggen dat elke groep van N Paarden heeft allemaal dezelfde kleur.
2. Als we een paard uit de groep verwijderen, hebben we een groep van N- 1 paarden van dezelfde kleur. Als we nog een paard toevoegen, hebben we nog een groep van N paarden. Door onze vorige veronderstelling hebben alle paarden van dezelfde kleur in deze nieuwe groep, omdat het een groep is N paarden.
3. Zo hebben we twee groepen van N paarden allemaal dezelfde kleur, met N- 1 paarden gemeen. Omdat deze twee groepen enkele paarden gemeen hebben, moeten de twee groepen dezelfde kleur hebben als elkaar.
4. Daarom hebben we alle gebruikte paarden een groep van een groep N+1 paarden van dezelfde kleur.
5. Dus indien van toepassing N paarden hebben allemaal dezelfde kleur, wat dan ook N+1 paarden hebben dezelfde kleur.
6. Dit geldt duidelijk voor N= 1 (d.w.z. één paard is een groep waar alle paarden dezelfde kleur hebben). Dus door inductie, N Paarden hebben dezelfde kleur voor elk positief geheel getal N. d.w.z. alle paarden hebben dezelfde kleur.

De misvatting in dit bewijs ontstaat in regel 3. voor N= 1, de twee groepen paarden hebben N- 1 = 0 paarden gemeenschappelijk, en zijn dus niet noodzakelijkerwijs dezelfde kleur als elkaar, dus de groep van N+1 = 2 paarden is niet noodzakelijk allemaal dezelfde kleur. De implicatie "elk N Paarden hebben dan van dezelfde kleur N+1 paarden zijn van dezelfde kleur "werkt voor elk N> 1, maar is niet waar wanneer N= 1. Het basisgeval is correct, maar de inductiestap heeft een fundamentele fout.

Zie ook

• Abnormale annulering- Soort rekenfout
• Deling door nul- Klasse van wiskundige expressie
• Lijst met onvolledige bewijzen
• Wiskundig toeval- toeval in wiskunde
• Paradox- Verklaring die zich blijkbaar tegenspreekt
• Bewijs door intimidatie- een argument markeren als voor de hand liggend of triviaal

Aantekeningen

Referenties

Externe links

• Ongeldige bewijzen Bij Snij-de knoop (inclusief literatuurverwijzingen)
• Klassieke denkfouten met enige discussie
• Meer ongeldige bewijzen van ahajokes.com
• Wiskundige grappen inclusief een ongeldig bewijs