LP -ruimte

In wiskunde, de L^p spaties zijn Functieruimten gedefinieerd met behulp van een natuurlijke generalisatie van de p-norm voor eindig-dimensionaal vectorruimten. Ze worden soms genoemd Lebesgue -ruimtes, genoemd naar Henri Lebesgue (Dunford & Schwartz 1958, Iii.3), hoewel volgens de Bourbaki Groep (Bourbaki 1987) Ze werden voor het eerst geïntroduceerd door Frigyes Riesz (Riesz 1910). L^p spaties vorm een ​​belangrijke klasse van Banach -ruimtes in functionele analyseen van topologische vectorruimtes. Vanwege hun sleutelrol in de wiskundige analyse van meet- en waarschijnlijkheidsruimtes, worden Lebesgue -ruimtes ook gebruikt in de theoretische bespreking van problemen in de natuurkunde, statistieken, economie, financiën, engineering en andere disciplines.

Toepassingen

Statistieken

In statistieken, maatregelen van algemene drang en statistische dispersie, zoals de gemeen, mediaan-, en standaardafwijking, worden gedefinieerd in termen van L^p statistieken en maatregelen van centrale neiging kunnen worden gekenmerkt als Oplossingen voor variatieproblemen.

In bestraft regressie, "L1 penalty" en "L2 penalty" verwijzen naar het bestraffen L¹ norm van de vector van een oplossing van parameterwaarden (d.w.z. de som van zijn absolute waarden), of zijn L² Norm (zijn Euclidische lengte). Technieken die een L1 -boete gebruiken, zoals LASSO, Moedig oplossingen aan waar veel parameters nul zijn. Technieken die een L2 -boete gebruiken, zoals Ridge -regressie, moedig oplossingen aan waar de meeste parameterwaarden klein zijn. Elastische netto regularisatie gebruikt een boete term die een combinatie is van de L¹ norm en de L² Norm van de parametervector.

Hausdorff - Young ongelijkheid

De Fourier -transformatie voor de echte lijn (of, voor periodieke functies, zien Fourier -serie), kaarten L^p(R) tot L^q(R) (of L^p(T) tot ℓ^q) respectievelijk, waar 1 ≤ p ≤ 2 en 1/p + 1/q = 1. Dit is een gevolg van de Riesz - Thorin Interpolation stelling, en wordt nauwkeurig gemaakt met de Hausdorff - Young ongelijkheid.

Als daarentegen, als p > 2, de Fourier -transformatie is niet in kaart gebracht L^q.

Hilbert -ruimtes

Hilbert -ruimtes staan ​​centraal in veel toepassingen, van kwantummechanica tot stochastische calculus. De spaties L² en ℓ² zijn beide Hilbert -ruimtes. In feite door een Hilbert -basis te kiezen E, d.w.z. een maximale orthonormale subset van L² of elke Hilbert -ruimte, men ziet dat elke Hilbert -ruimte isometrisch isomorf is ℓ²(E) (dezelfde E zoals hierboven), d.w.z. een Hilbert -ruimte van het type ℓ².

De p-norm in eindige dimensies

De lengte van een vector x = (x₁, x₂, ..., x_n) in de n-dimensionaal echt Vector ruimte Rⁿ wordt meestal gegeven door de Euclidische norm:

De Euclidische afstand tussen twee punten x en y is de lengte ||x − y||₂ van de rechte lijn tussen de twee punten. In veel situaties is de Euclidische afstand onvoldoende om de werkelijke afstanden in een bepaalde ruimte vast te leggen. Een analogie hiervan wordt gesuggereerd door taxichauffeurs in een grid street -plan die afstand moet meten, niet in termen van de lengte van de rechte lijn naar hun bestemming, maar in termen van de rechtlijnige afstand, waarmee rekening wordt gehouden met dat straten orthogonaal of parallel aan elkaar zijn. De klasse van p-normen generaliseren deze twee voorbeelden en heeft een overvloed aan toepassingen in veel delen van wiskunde, natuurkunde, en computertechnologie.

Definitie

Voor een echt nummer p ≥ 1, de p-norm of L^p-norm van x wordt gedefinieerd door

De absolute waardestaven kunnen worden gedropt wanneer p is een rationeel nummer met een gelijkmatige teller in zijn gereduceerde vorm, en x is afkomstig uit de reeks reële getallen, of een van zijn subsets.

De Euclidische norm van bovenaf valt in deze klasse en is de 2-norm, en de 1-norm is de norm die overeenkomt met de rechtlijnige afstand.

De L^∞ -norm of maximale norm (of uniforme norm) is de limiet van de L^p-normen voor p → ∞. Het blijkt dat deze limiet gelijk is aan de volgende definitie:

Zien L-oneindigheid.

Voor iedereen p ≥ 1, de p-normen en maximale norm zoals hierboven gedefinieerd, voldoen inderdaad inderdaad aan de eigenschappen van een "lengte -functie" (of norm), wat dat is:

• Alleen de nul vector heeft nul lengte,
• De lengte van de vector is positief homogeen met betrekking tot vermenigvuldiging door een scalaire (Positieve homogeniteit), en
• De lengte van de som van twee vectoren is niet groter dan de som van lengtes van de vectoren (Driehoeksongelijkheid).

Samenvatting betekent dit dat dat Rⁿ samen met de p-norm is een Banach -ruimte. Deze banach -ruimte is de L^p-ruimte over Rⁿ.^{[verduidelijking nodig]}

Relaties tussen p-normen

De rasterafstand of rechtlijnige afstand (soms de "genoemdManhattan -afstand") tussen twee punten is nooit korter dan de lengte van het lijnsegment tussen hen (de Euclidische of" zoals de kraai vliegt "afstand). Formeel betekent dit dat de Euclidische norm van een vector wordt begrensd door zijn 1-norm:

Dit feit generaliseert p-normen daarin de p-norm ||x||_p van een bepaalde vector x groeit niet met p:

Voor de tegenovergestelde richting, de volgende relatie tussen de 1-norm en de 2-norm is bekend:

Deze ongelijkheid hangt af van de dimensie n van de onderliggende vectorruimte en volgt rechtstreeks vanuit de Cauchy - Schwarz ongelijkheid.

In het algemeen, voor vectoren in ℂⁿ waar 0 < r < p:

Dit is een gevolg van Hölder's ongelijkheid.

Wanneer 0 < p < 1

In Rⁿ voor n > 1, de Formule

definieert een absoluut homogene functie voor 0 < p < 1; De resulterende functie definieert echter geen norm, omdat dit niet het geval is subadditief. Aan de andere kant, de formule Definieert een subadditieve functie ten koste van het verliezen van absolute homogeniteit. Het definieert een F-Norm, echter, wat homogeen is van graad p.

Vandaar de functie

definieert een metriek. De metrische ruimte (Rⁿ, d_p) wordt aangeduid door ℓ_n^p.

Hoewel de p-unit bal B_n^p Rond de oorsprong in deze metriek is "concaaf", de topologie gedefinieerd op Rⁿ door de metriek d_p is de gebruikelijke vectorruimte -topologie van Rⁿ, Vandaar ℓ_n^p is een Lokaal convex Topologische vectorruimte. Buiten deze kwalitatieve verklaring, een kwantitatieve manier om het gebrek aan convexiteit van te meten ℓ_n^p is om aan te duiden door C_p(n) de kleinste constante C zodanig dat het meerdere C B_n^p van de p-unit bal bevat de convexe romp van B_n^p, gelijk aan B_n¹. Het feit dat voor vaste p < 1 wij hebben

laat zien dat de oneindige dimensionale sequentieruimte ℓ^p Hieronder gedefinieerd, is niet langer lokaal convex.

Wanneer p = 0

Er is er een ℓ₀ norm en een andere functie genaamd de ℓ₀ "Norm" (met aanhalingstekens).

De wiskundige definitie van de ℓ₀ Norm werd vastgesteld door Banach's Theorie van lineaire bewerkingen. De ruimte van sequenties heeft een complete metrische topologie geleverd door de F-Norm

die wordt besproken door Stefan Rolewicz in Metrische lineaire ruimtes.^[1] De ℓ₀-Gegereide ruimte wordt bestudeerd in functionele analyse, waarschijnlijkheidstheorie en harmonische analyse.

Een andere functie werd de ℓ₀ "norm" door David Donoho-Welk citaatmarkeringen waarschuwen dat deze functie geen juiste norm is-is het aantal niet-nul-vermeldingen van de vector x. Veel auteurs misbruik terminologie door de aanhalingstekens weg te laten. Het definiëren 0⁰ = 0, de nul "norm" van x is gelijk aan

Dit is geen norm omdat het niet zo is homogeen. Bijvoorbeeld het schalen van de vector x door een positieve constante verandert de "norm" niet. Ondanks deze defecten als een wiskundige norm, heeft de niet-nul tellende "norm" gebruik in Wetenschappelijk computergebruik, informatietheorie, en statistieken–Noteerbaar in gecomprimeerde detectie in signaalverwerking en computationeel harmonische analyse. Ondanks dat het geen norm is, de bijbehorende metriek, bekend als Hamming -afstand, is een geldige afstand, omdat homogeniteit niet vereist is voor afstanden.

De p-norm in oneindige dimensies en ℓ^p spaties

De reeksruimte ℓ^p

De p-Norm kan worden uitgebreid tot vectoren met een oneindig aantal componenten (sequenties), die de ruimte oplevert ℓ^p. Dit bevat als speciale gevallen:

• ℓ¹, de ruimte van sequenties waarvan de serie is Absoluut convergent,
• ℓ², de ruimte van vierkante schimmelbaar sequenties, die een Hilbert -ruimte, en
• ℓ^∞, de ruimte van begrensde sequenties.

De ruimte van sequenties heeft een natuurlijke vectorruimtestructuur door toevoeging en scalaire vermenigvuldigingscoördinaat toe te passen per coördinaten. Expliciet, de vectorsom en de scalaire werking voor oneindig sequenties van echte (of complex) Nummers worden gegeven door:

Definieer de p-norm:

Hier ontstaat een complicatie, namelijk dat de serie Aan de rechterkant is niet altijd convergent, dus bijvoorbeeld de volgorde die bestaat uit alleen, (1, 1, 1, ...), zal een oneindig hebben p-norm voor 1 ≤ p < ∞. De ruimte ℓ^p wordt vervolgens gedefinieerd als de set van alle oneindige sequenties van reële (of complexe) getallen zodat de p-norm is eindig.

Men kan dat controleren als p neemt toe, de set ℓ^p wordt groter. Bijvoorbeeld de volgorde

is niet in ℓ¹, maar het is in ℓ^p voor p > 1, zoals de serie divergeert voor p = 1 (de harmonische serie), maar is convergent voor p > 1.

Men definieert ook de ∞-norm gebruik van de supremum:

en de overeenkomstige ruimte ℓ^∞ van alle begrensde sequenties. Het blijkt dat^[2] Als de rechterkant eindig is of de linkerkant oneindig is. We zullen dus overwegen ℓ^p spaties voor 1 ≤ p ≤ ∞.

De p-norm aldus gedefinieerd op ℓ^p is inderdaad een norm, en ℓ^p Samen met deze norm is een Banach -ruimte. De volledig algemeen L^p Er wordt ruimte verkregen-zoals hieronder wordt gezien-door vectoren te overwegen, niet alleen met eindig of telbaar volledig veel componenten, maar met "willekeurig veel componenten"; met andere woorden, functie. Een integraal in plaats van een som wordt gebruikt om de p-norm.

Algemeen ℓ^p-ruimte

In volledige analogie met de voorgaande definitie kan men de ruimte definiëren ${\ DisplayStyle \ ell ^{p} (i)}$ Over een generaal Indexset ${\ displaystyle i}$ (en ${\ DisplayStyle 1 \ leq p <\ infty}$) net zo

Waar convergentie aan de rechterkant betekent dat slechts tellbaar veel summanden niet nul zijn (zie ook Onvoorwaardelijke convergentie). Met de norm de ruimte ${\ DisplayStyle \ ell ^{p} (i)}$ wordt een Banach -ruimte. In het geval waar ${\ displaystyle i}$ is eindig met ${\ displaystyle n}$ Elementen, deze constructie levert op Rⁿ met de ${\ displaystyle p}$-norm hierboven gedefinieerd. Als ${\ displaystyle i}$ is tellbaar oneindig, dit is precies de sequentieruimte ${\ displayStyle \ ell ^{p}}$ hierboven gedefinieerd. Voor ontelbare sets ${\ displaystyle i}$ Dit is een niet-scheidbaar Banach -ruimte die kan worden gezien als de Lokaal convex direct limiet van ${\ displayStyle \ ell ^{p}}$-Volgende spaties.^[3]

Voor ${\ displaystyle p = 2,}$ de ${\ displaystyle \ | \, \ cdot \, \ | _ {2}}$-norm wordt zelfs veroorzaakt door een canoniek innerlijk product ${\ DisplayStyle \ Langle \, \ CDOT, \, \ CDOT \ Rangle,}$ genaamd de Euclidisch innerlijk product, wat betekent dat ${\ displayStyle \ | \ Mathbf {x} \ | _ {2} = {\ sqrt {\ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle}}}}$ geldt voor alle vectoren ${\ DisplayStyle \ Mathbf {x}.}$ Dit binnenste product kan tot uitdrukking komen in termen van de norm door de polarisatie -identiteit. Op ${\ DisplayStyle \ ell ^{2},}$ het kan worden gedefinieerd door

Terwijl voor de ruimte ${\ displaystyle l^{2} (x, \ mu)}$ geassocieerd met een meet ruimte ${\ displaystyle (x, \ sigma, \ mu),}$ die uit allemaal bestaat vierkant-integreerbare functies, het is

Overweeg nu de zaak ${\ displaystyle p = \ infty.}$ We kunnen definiëren

^{[NB 1]} waar voor alles x ^{[NB 2][4]}

De indexset ${\ displaystyle i}$ kan worden omgezet in een meet ruimte door het de discrete σ-algebra en de tellen maatregel. Dan de ruimte ${\ DisplayStyle \ ell ^{p} (i)}$ is slechts een speciaal geval van de meer generaal ${\ displaystyle l^{p}}$-ruimte (zie hieronder).

L^p Spaces en Lebesgue -integralen

Een L^p ruimte kan worden gedefinieerd als een ruimte van meetbare functies waarvoor de ${\ displaystyle p}$-th kracht van de absolute waarde is Lebesgue integreerbaar, waar functies die bijna overal overeenkomen worden geïdentificeerd. Meer in het algemeen, laat 1 ≤ p < ∞ en (S, Σ, μ) wees een meet ruimte. Overweeg de set van allemaal meetbare functies van S tot C of R van wie absolute waarde verhoogd naar de p-th Power heeft een eindige integraal, of gelijkwaardig, dat

De set van dergelijke functies vormt een Vector ruimte, met de volgende natuurlijke operaties:

Voor elke scalair λ.

Dat de som van twee p-th Power Integrable -functies zijn weer p-th Power Integrable volgt uit de ongelijkheid

(Dit komt van de convexiteit van ${\ displaystyle t \ mapsto t^{p}}$ voor ${\ displaystyle p \ geq 1}$.)

In feite is meer waar. Minkowski's ongelijkheid zegt de Driehoeksongelijkheid vasthoudt voor || · ||_p. Dus de set van p-th Power Integrable -functies, samen met de functie || · ||_p, is een seminormed vectorruimte, die wordt aangegeven door ${\ DisplayStyle {\ Mathcal {l}}^{p} (s, \, \ mu)}$.

Voor p = ∞, de ruimte ${\ DisplayStyle {\ Mathcal {l}}^{\ infty} (s, \ mu)}$ is de ruimte van meetbare functies die bijna overal begrensd zijn, met (wanneer μ (x) ≠ 0) de essentieel supremum van zijn absolute waarde als norm:

^{[NB 3]}

Zoals in het discrete geval, als er bestaat q < ∞ zoals dat  f ∈ L^∞(S, μ) ∩ L^q(S, μ), dan

${\ DisplayStyle {\ Mathcal {l}}^{p} (s, \, \ mu)}$ kan worden gemaakt tot een genormeerde vectorruimte op een standaard manier; men neemt gewoon de quotiëntruimte Met betrekking tot de subruimte van functies waarvan de p-norm nul is. Sinds voor elke meetbare functie  f , dat hebben we || f ||_p = 0 als en alleen als  f = 0 bijna overal, die subruimte hangt niet af van p,,

In de quotiëntruimte, twee functies  f  en g worden geïdentificeerd als  f = g bijna overal. De resulterende genormeerde vectorruimte is per definitie,

Over het algemeen kan dit proces niet worden omgekeerd: er is geen consistente manier om een ​​"canonieke" representatief van elke coset van te definiëren ${\ DisplayStyle {\ Mathcal {n}}}$ in ${\ displaystyle l^{p}}$. Voor ${\ displaystyle l^{\ infty}}$, er is echter een Theorie van liften dergelijk herstel mogelijk maken.

Wanneer de onderliggende meetruimte S is begrepen, L^p(S, μ) wordt vaak afgekort L^p(μ), of gewoon L^p.

Voor 1 ≤ p ≤ ∞, L^p(S, μ) is een Banach -ruimte. Het feit dat L^p is compleet wordt vaak aangeduid als de Riesz-Fischer stelling, en kan worden bewezen met behulp van de convergentie -stellingen voor Lebesgue Integrals.

De bovenstaande definities generaliseren Bochner -ruimtes.

Speciale gevallen

Vergelijkbaar met de ℓ^p spaties, L² is de enige Hilbert -ruimte tussen L^p ruimtes. In het complexe geval is het binnenste product op L² wordt gedefinieerd door

De extra innerlijke productstructuur zorgt voor een rijkere theorie, met toepassingen op bijvoorbeeld bijvoorbeeld, Fourier -serie en kwantummechanica. Functioneert L² worden soms genoemd vierkant-integreerbare functies, quadratisch integreerbare functies of vierkante schimmelbare functies, maar soms zijn deze termen gereserveerd voor functies die in een andere zin in een andere zin worden geïntegreerd, zoals in de zin van een Riemann Integraal (Titchmarsh 1976).

Als we functies voor complexe waarde gebruiken, de ruimte L^∞ is een commutatief C*-algebra met puntsgewijze vermenigvuldiging en vervoeging. Voor veel maatregelen, inclusief alle Sigma-eindige, is het in feite een commutatief von Neumann algebra. Een element van L^∞ definieert een begrensde operator op elke L^p spatie door vermenigvuldiging.

Voor 1 ≤ p ≤ ∞ de ℓ^p Spaces zijn een speciaal geval van L^p spaties, wanneer S = N, en μ is de tellen maatregel Aan N. Meer in het algemeen, als men een set overweegt S met de telmaatregel, het resultaat L^p Er wordt ruimte aangegeven ℓ^p(S). Bijvoorbeeld de ruimte ℓ^p(Z) is de ruimte van alle sequenties geïndexeerd door de gehele getallen, en bij het definiëren van de p-Norm op zo'n ruimte vat men over alle gehele getallen. De ruimte ℓ^p(n), waar n is de set met n elementen, is Rⁿ met zijn p-norm zoals hierboven gedefinieerd. Als elke Hilbert -ruimte, elke ruimte L² is lineair isometrisch tot een geschikte ℓ²(I), waar de kardinaliteit van de set I is de kardinaliteit van een willekeurige Hilbertiaanse basis voor deze specifieke L².

Eigenschappen van L^p spaties

Dubbele ruimtes

De dubbele ruimte (de Banach -ruimte van alle continue lineaire functionals) van L^p(μ) voor 1 < p < ∞ heeft een natuurlijk isomorfisme met L^q(μ), waar q is zo dat 1/p + 1/q = 1 (d.w.z. q = p/p - 1). Dit isomorfisme associeert g ∈ L^q(μ) met het functionele κ_p(g) ∈ L^p(μ)^∗ gedefinieerd door

voor iedere ${\ displaystyle f \ in l^{p} (\ mu)}$

Het feit dat κ_p(g) is goed gedefinieerd en continu volgt uit Hölder's ongelijkheid. κ_p: L^q(μ) → L^p(μ)^∗ is een lineaire mapping die een isometrie Door de extreme zaak van Hölder's ongelijkheid. Het is ook mogelijk om te laten zien (bijvoorbeeld met de Radon -nikodym stelling, zien^[5]) dat alles G ∈ L^p(μ)^∗ kan op deze manier worden uitgedrukt: d.w.z. dat κ_p is op. Sinds κ_p is op en isometrisch, het is een isomorfisme van Banach -ruimtes. Met dit (isometrisch) isomorfisme in gedachten, is het gebruikelijk om gewoon dat te zeggen L^q is de dubbele banach -ruimte van L^p.

Voor 1 < p < ∞, de ruimte L^p(μ) is reflexief. Laten κ_p Wees zoals hierboven en laat κ_q: L^p(μ) → L^q(μ)^∗ Wees de overeenkomstige lineaire isometrie. Overweeg de kaart van L^p(μ) tot L^p(μ)^∗∗, verkregen door componeren κ_q met de omzetten (of adjoint) van het omgekeerde van κ_p:

Deze kaart valt samen met de canonieke inbedding J van L^p(μ) in zijn biduele. Bovendien, de kaart j_p is op, als samenstelling van twee op isometrieën, en dit bewijst reflexiviteit.

Als de maatregel μ Aan S is Sigma-Finite, dan de dual van L¹(μ) is isometrisch isomorf L^∞(μ) (meer precies de kaart κ₁ overeenkomstig met p = 1 is een isometrie van L^∞(μ) op L¹(μ)^∗).

De dual van L^∞ is subtieler. Elementen van L^∞(μ)^∗ kan worden geïdentificeerd met begrensde ondertekend eindeloos additieve maatregelen op S dat zijn Absoluut continu rekeninghoudend met μ. Zien BA -ruimte voor meer details. Als we het axioma bij uitstek aannemen, is deze ruimte veel groter dan L¹(μ) behalve in sommige triviale gevallen. Echter, Saharon Shelah bewezen dat er relatief consistente uitbreidingen zijn van Zermelo - Fraenkel Set Theory (ZF + DC + "Elke subset van de reële getallen heeft de Baire -eigendom") waarin de dual van ℓ^∞ is ℓ¹.^[6]

Inbedden

In de volksmond, als 1 ≤ p < q ≤ ∞, dan L^p(S, μ) bevat functies die lokaal meer enkelvoudig zijn, terwijl elementen van L^q(S, μ) kan meer verspreid zijn. Overweeg de Lebesgue -maatregel op de halve lijn (0, ∞). Een continue functie in L¹ kan in de buurt blazen 0 maar moet voldoende snel vervallen in de richting van oneindig. Aan de andere kant functioneert continu in L^∞ hoeft helemaal niet te vervallen, maar er is geen opgeblazen toegestaan. Het precieze technische resultaat is het volgende.^[7] Stel dat dat 0 < p < q ≤ ∞. Dan:

1. L^q(S, μ) ⊂ L^p(S, μ) als en alleen als S bevat geen sets van eindige maar willekeurig grote maatregel, en
2. L^p(S, μ) ⊂ L^q(S, μ) als en alleen als S bevat geen sets van niet-nul maar willekeurig kleine mate.

Geen van beide voorwaarden geldt voor de echte lijn met de Lebesgue -maatregel. In beide gevallen is de inbedding continu, omdat de identiteitsoperator een begrensde lineaire kaart is vanL^q tot L^p in het eerste geval, en L^p tot L^q in de seconde. (Dit is een gevolg van de Gesloten grafische stelling en eigenschappen van L^p spaties.) Inderdaad, als het domein S heeft een eindige maatregel, men kan de volgende expliciete berekening maken met behulp van Hölder's ongelijkheid

leiden naar

De constante verschijning in de bovenstaande ongelijkheid is optimaal, in de zin dat de Operatornorm van de identiteit I: L^q(S, μ) → L^p(S, μ) is precies

het geval van gelijkheid die precies wordt bereikt wanneer  f = 1 μ-bijna overal.

Dichte subruimten

In dit gedeelte gaan we ervan uit dat: 1 ≤ p < ∞.

Laten (S, Σ, μ) een maatregel zijn. Een integreerbare eenvoudige functie  f  Aan S is een van de vorm

waar a_j is scalair, A_j ∈ σ heeft een eindige maatregel en ${\ DisplayStyle {\ Mathbf {1}} _ {A_ {J}}}$ is de indicatorfunctie van de set ${\ displaystyle a_ {j}}$, voor j = 1, ..., n. Door de bouw van de integraal, de vectorruimte van integreerbare eenvoudige functies is dicht in L^p(S, Σ, μ).

Er kan meer worden gezegd wanneer S is een normaal Topologische ruimte en Σ zijn Borel σ-algebra, d.w.z. de kleinste σ–Algebra van subsets van S Bevat de open sets.

Veronderstellen V ⊂ S is een open set met μ(V) <∞. Het kan worden bewezen dat voor elke Borel -set A ∈ σ Verpakt in V, en voor elk ε > 0, er bestaan ​​een gesloten set F en een open set U zoals dat

Hieruit volgt dat er een continu bestaat Urysohn -functie 0 ≤ φ ≤ 1 Aan S dat is 1 Aan F en 0 Aan S ∖ U, met

Als S kan worden gedekt door een toenemende reeks (V_n) van open sets met een eindige maatregel, dan de ruimte van p–Integrage continue functies is dicht in L^p(S, Σ, μ). Meer precies, men kan begrensde continue functies gebruiken die buiten een van de open sets verdwijnen V_n.

Dit geldt met name wanneer S = R^d en wanneer μ is de Lebesgue -maatregel. De ruimte van continue en compact ondersteunde functies is dicht in L^p(R^d). Evenzo, de ruimte van integreerbaar Stapfuncties is dicht in L^p(R^d); Deze ruimte is de lineaire overspanning van indicatorfuncties van begrensde intervallen wanneer d = 1, van begrensde rechthoeken wanneer d = 2 en meer in het algemeen van producten met begrensde intervallen.

Verschillende eigenschappen van algemene functies in L^p(R^d) worden eerst bewezen voor continue en compact ondersteunde functies (soms voor stapfuncties), vervolgens uitgebreid door dichtheid naar alle functies. Op deze manier is bijvoorbeeld bewezen dat vertalingen continu zijn L^p(R^d), in de volgende zin:

waar

L^p (0 < p < 1)

Laten (S, Σ, μ) een maatregel zijn. Als 0 < p < 1, dan L^p(μ) kan worden gedefinieerd zoals hierboven: het is de vectorruimte van die meetbare functies  f  zoals dat

Zoals eerder, kunnen we de p-norm || f ||_p = N_p((f))^1/p, maar || · ||_p voldoet niet aan de driehoeksongelijkheid in dit geval en definieert alleen een quasi-norm. De ongelijkheid (a + b)^p ≤ a^p + b^p, geldig voor a, b ≥ 0 impliceert dat (Rudin 1991, §1.47)

En dus de functie is een metriek op L^p(μ). De resulterende metrische ruimte is compleet; De verificatie is vergelijkbaar met het vertrouwde geval wanneer p ≥ 1.

In deze setting L^p voldoet een Omgekeerde minkowski -ongelijkheid, dat is voor u, v in L^p

Dit resultaat kan worden gebruikt om te bewijzen Clarkson's ongelijkhedendie op hun beurt worden gebruikt om de uniforme convexiteit van de ruimtes L^p voor 1 < p < ∞ (Adams & Fournier 2003).

De ruimte L^p voor 0 < p < 1 is een F-space: Het laat een volledige vertaalinvariante metriek toe met betrekking tot welke vectorruimte-bewerkingen continu zijn. Het is ook lokaal begrensd, net als de zaak p ≥ 1. Het is het prototypische voorbeeld van een F-space Dat is voor de meeste redelijke maatregelen dat niet Lokaal convex: in ℓ^p of L^p([0, 1]), elke open bol 0 functie is onbegrensd voor de p-quasi-norm; Daarom, de 0 Vector bezit geen fundamenteel systeem van convexe buurten. In het bijzonder is dit waar als de maatregelruimte S Bevat een oneindige familie van disjoint meetbare sets van eindige positieve maatregelen.

De enige niet -lege convexe open set in L^p([0, 1]) is de hele ruimte (Rudin 1991, §1.47). Als een bepaald gevolg zijn er geen niet -nul lineaire functies op L^p([0, 1]): De dubbele ruimte is de nulruimte. In het geval van de tellen maatregel Op de natuurlijke getallen (de reeksruimte produceren L^p(μ) = ℓ^p), de begrensde lineaire functies op ℓ^p zijn precies die welke begrensd zijn ℓ¹, namelijk die gegeven door sequenties in ℓ^∞. Hoewel ℓ^p Bevat niet-triviale convexe open sets, het heeft er niet genoeg van om een ​​basis te geven voor de topologie.

De situatie van het hebben van geen lineaire functies is zeer ongewenst om analyse te doen. In het geval van de Lebesgue -maatregel op Rⁿ, in plaats van samen te werken L^p voor 0 < p < 1, het is gebruikelijk om te werken met de Winterharde ruimte H^p Waar mogelijk, omdat dit nogal wat lineaire functies heeft: genoeg om punten van elkaar te onderscheiden. echter, de Hahn - Banach Stelling faalt nog steeds H^p voor p < 1 (Duren 1970, §7.5).

L⁰, de ruimte van meetbare functies

De vectorruimte van (equivalentieklassen van) meetbare functies op (S, Σ, μ) wordt aangeduid L⁰(S, Σ, μ) (Kalton, Peck & Roberts 1984). Per definitie bevat het alle L^p, en is uitgerust met de topologie van Convergentie in maat. Wanneer μ is een waarschijnlijkheidsmaat (d.w.z. μ(S) = 1), deze manier van convergentie is genoemd Convergentie in waarschijnlijkheid.

De beschrijving is eenvoudiger wanneer μ is eindig. Als μ is een eindige maatregel op (S, Σ), de 0 Functie toegeeft voor de convergentie in meet het volgende fundamentele systeem van buurten

De topologie kan worden gedefinieerd door elke metriek d van de vorm

waar φ is begrensd continu concaaf en niet afbeelden [0, ∞), met φ(0) = 0 en φ(t)> 0 wanneer t > 0 (bijvoorbeeld, φ(t) = min (t, 1)). Zo'n metriek wordt genoemd Heffing-metrisch voor L⁰. Onder deze metriek de ruimte L⁰ is compleet (het is opnieuw een F-space). De ruimte L⁰ is in het algemeen niet lokaal begrensd en niet lokaal convex.

Voor de oneindige Lebesgue -maatregel λ Aan Rⁿ, de definitie van het fundamentele systeem van buurten kan als volgt worden gewijzigd

De resulterende ruimte L⁰(Rⁿ, λ) valt samen als topologische vectorruimte met L⁰(Rⁿ, g(x) dλ(x)), voor elk positief λ–Integrage dichtheid g.

Generalisaties en uitbreidingen

Zwak L^p

Laten (S, Σ, μ) een maatregel zijn, en f a meetbare functie met echte of complexe waarden aan S. De Distributie functie van f is gedefinieerd voor t ≥ 0 door

Als f is in L^p(S, μ) Voor sommigen p met 1 ≤ p < ∞, dan door Markov's ongelijkheid,,

Een functie f Er wordt gezegd dat het in de ruimte is zwak L^p(S, μ), of L^p,w(S, μ), als er een constante is C > 0 zodanig dat voor iedereen t > 0,,

De beste constante C want deze ongelijkheid is de L^p,w-norm van f, en wordt aangeduid door

De zwakken L^p Val samen met de Lorentz -ruimtes L^{p, ∞}, dus deze notatie wordt ook gebruikt om ze aan te duiden.

De L^p,w-norm is geen echte norm, omdat de Driehoeksongelijkheid faalt om vast te houden. Desalniettemin voor f in L^p(S, μ),,

en vooral L^p(S, μ) ⊂ L^p,w(S, μ).

In feite heeft men

en aan de macht brengen 1/p en het supremum meenemen t men heeft

Volgens het verdrag zijn twee functies gelijk als ze gelijk zijn μ Bijna overal, dan de spaties L^p,w zijn compleet (Grafakos 2004).

Voor enige 0 < r < p de uitdrukking

is vergelijkbaar met de L^p,w-norm. Verder in de zaak p > 1, deze uitdrukking definieert een norm als r = 1. Vandaar voor p > 1 De zwakken L^p Spaties zijn Banach -ruimtes (Grafakos 2004).

Een belangrijk resultaat dat de L^p,w-ruimtes zijn de Marcinkiewicz interpolatie stelling, die brede toepassingen heeft voor harmonische analyse en de studie van enkelvoudige integralen.

Gewogen L^p spaties

Zoals voorheen, overweeg een meet ruimte (S, Σ, μ). Laten w: S → [a, ∞), a> 0 een meetbare functie zijn. De w-gewogen L^p ruimte is gedefinieerd als L^p(S, wdμ), waar wdμ betekent de maatregel ν gedefinieerd door

of, in termen van de Radon -niet -derivaat, w = dν/dμ de norm voor L^p(S, wdμ) is expliciet

Net zo L^p-ruimtes, de gewogen ruimtes hebben sindsdien niets bijzonders L^p(S, wdμ) is gelijk aan L^p(S, dν). Maar ze zijn het natuurlijke kader voor verschillende resultaten in harmonische analyse (Grafakos 2004); Ze verschijnen bijvoorbeeld in de Muckenhoupt stelling: voor 1 < p < ∞, het klassieke Hilbert -transformatie is gedefinieerd op L^p(T, λ) waar T geeft de eenheidscirkel aan en λ de Lebesgue -maat; de (niet -lineair) Hardy - Littlewood maximale operator is begrensd op L^p(Rⁿ, λ). De stelling van Muckenhoupt beschrijft gewichten w zodanig dat de Hilbert -transformatie wordt begrensd op L^p(T, wdλ) en de maximale operator aan L^p(Rⁿ, wdλ).

L^p Spaces op verdeelstukken

Men kan ook spaties definiëren L^p(M) op een verdeelstuk, de intrinsiek L^p spaties van het verdeelstuk, gebruik dichtheden.

Met vector gewaardeerd L^p spaties

Gegeven een maatruimte (X, Σ, μ) en een lokaal convexe ruimte E, men kan ook een ruimtes definiëren p-Integreerbare e-waargenomen functies op een aantal manieren. De meest voorkomende hiervan zijn de ruimtes van Bochner integreerbaar en Pettis-integreerbaar functies. De ... gebruiken tensorproduct van lokaal convexe ruimtes, deze kunnen respectievelijk worden gedefinieerd als ${\ displayStyle l _ {\ mu}^{p} \ links (x, \ sigma, \ mu \ rechts) \ otimes _ {\ pi} e}$ en ${\ displaystyle l _ {\ mu}^{p} \ left (x, \ sigma, \ mu \ rechts) \ otimes _ {\ varepsilon} e}$; waar ${\ DisplayStyle \ otimes _ {\ pi}}$ en ${\ DisplayStyle \ otimes _ {\ varepsilon}}$ Duiden respectievelijk de projectieve en injectieve tensorproducten van lokaal convexe ruimtes aan. Wanneer E is een nucleaire ruimte, Grothendieck toonde aan dat deze twee constructies niet te onderscheiden zijn.

Zie ook

Aantekeningen

Referenties

• Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003), Sobolev -ruimtes (Tweede ed.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topologische vectorruimtes, Elementen van wiskunde, Berlijn: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Echte analyse, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Lineaire operators, volume i, Wiley-Interscience.
• Duren, P. (1970), Theorie van h^p-Ruimtes, New York: academische pers
• Grafakos, Loukas (2004), Klassieke en moderne Fourier -analyse, Pearson Education, Inc., pp. 253-257, ISBN 0-13-035399-X.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Echte en abstracte analyse, Springer-Verlag.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), Een F-Space Sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, Vol. 89, Cambridge: Cambridge University Press, doen:10.1017/cbo9780511662447, ISBN 0-521-27585-7, DHR 0808777
• Riesz, Frigyes (1910), "UNTersuchungen über Systeme IntegrierBarer funktionen", MATHEMATISCHE ANNALEN, 69 (4): 449–497, doen:10.1007/BF01457637, S2CID 120242933
• Rudin, Walter (1991). Functionele analyse. Internationale series in pure en toegepaste wiskunde. Vol. 8 (tweede ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. Oclc 21163277.
• Rudin, Walter (1987), Echte en complexe analyse (3e ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, DHR 0924157
• Titchmarsh, EC (1976), De theorie van functies, Oxford Universiteit krant, ISBN 978-0-19-853349-8

Externe links

• "Lebesgue Space", Encyclopedie van wiskunde, EMS Press, 2001 [1994]
• Bewijs dat L^p Spaties zijn compleet