Lineaire kaart

In wiskunde, en meer specifiek in lineaire algebra, a lineaire kaart (ook wel een lineaire mapping, lineaire transformatie, vectorruimte homomorfisme, of in sommige contexten lineaire functie) is een in kaart brengen ${\ displaystyle v \ to w}$ tussen twee vectorruimten die de werking van Vector -toevoeging en scalaire vermenigvuldiging. Dezelfde namen en dezelfde definitie worden ook gebruikt voor het meer algemene geval van modules over een ring; zien Module Homomorfisme.

Als een lineaire kaart een buik dan wordt het een lineair isomorfisme. In het geval waar ${\ displaystyle v = w}$, een lineaire kaart wordt A (lineair) genoemd endomorfisme. Soms de term lineaire operator verwijst naar deze zaak,^[1] Maar de term "lineaire operator" kan verschillende betekenissen hebben voor verschillende conventies: het kan bijvoorbeeld worden gebruikt om dat te benadrukken ${\ DisplayStyle v}$ en ${\ DisplayStyle w}$ zijn echt vectorruimtes (niet noodzakelijkerwijs met ${\ displaystyle v = w}$), of het kan worden gebruikt om dat te benadrukken ${\ DisplayStyle v}$ is een functieruimte, dat is een veel voorkomende conventie in functionele analyse.^[2] Soms de term lineaire functie heeft dezelfde betekenis als lineaire kaart, terwijl in analyse het doet niet.

Een lineaire kaart van V tot W kent altijd de oorsprong van V tot de oorsprong van W. Bovendien kaarten het Lineaire subruimten in V op lineaire subruimten in W (mogelijk van een lager dimensie);^[3] Het brengt bijvoorbeeld een vlak door het oorsprong in V naar een vliegtuig door de oorsprong in W, a lijn door de oorsprong in W, of gewoon de oorsprong in W. Lineaire kaarten kunnen vaak worden weergegeven als matrices, en eenvoudige voorbeelden zijn Rotatie en reflectie lineaire transformaties.

In de taal van Categorietheorie, lineaire kaarten zijn de morfismen van vectorruimtes.

Definitie en eerste gevolgen

Laten ${\ DisplayStyle v}$ en ${\ DisplayStyle w}$ zijn vectorruimtes over hetzelfde veld ${\ displaystyle k}$. Een functie ${\ displaystyle f: v \ to w}$ zou een lineaire kaart Als voor twee vectoren ${\ TextStyle \ Mathbf {u}, \ Mathbf {v} \ in v}$ en elke scalair ${\ displaystyle c \ in k}$ Aan de volgende twee voorwaarden zijn voldaan:

• Toevoeging / werking van toevoeging
  $${\ displaystyle f (\ mathbf {u} +\ mathbf {v}) = f (\ mathbf {u}) +f (\ mathbf {v})}$$

  
• Homogeniteit van graad 1 / werking van scalaire vermenigvuldiging
  $${\ displaystyle f (c \ mathbf {u}) = cf (\ mathbf {u})}$$

  

Er wordt dus gezegd dat een lineaire kaart is Operatie bewaren. Met andere woorden, het maakt niet uit of de lineaire kaart wordt toegepast vóór (de rechterhandkijkers van de bovenstaande voorbeelden) of na (de linkerhand van de voorbeelden) de bewerkingen van toevoeging en scalaire vermenigvuldiging.

Door de associativiteit van de toevoeging. aangeduid als +, voor alle vectoren ${\ textstyle \ mathbf {u} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {u} _ {n} \ in v}$ en scalars ${\ textstyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n} \ in k,}$ De volgende gelijkheid geldt:^[4][5]

Dus een lineaire kaart is er een die behoudt lineaire combinaties.

De nul -elementen van de vectorruimtes aangeven ${\ DisplayStyle v}$ en ${\ DisplayStyle w}$ door ${\ TextStyle \ Mathbf {0} _ {v}}$ en ${\ TextStyle \ Mathbf {0} _ {W}}$ Hieruit volgt dat ${\ textstyle f (\ mathbf {0} _ {v}) = \ mathbf {0} _ {w}.}$ Laten ${\ displaystyle c = 0}$ en ${\ TextStyle \ Mathbf {v} \ in v}$ In de vergelijking voor homogeniteit van graad 1:

Een lineaire kaart ${\ displaystyle v \ to k}$ met ${\ displaystyle k}$ gezien als een eendimensionale vectorruimte over zichzelf wordt een lineair functioneel.^[6]

Deze verklaringen generaliseren naar elke linksmodule ${\ textstyle {} _ {r} m}$ over een ring ${\ displaystyle r}$ Zonder aanpassing, en op enige rechtsmodule bij het omkeren van de scalaire vermenigvuldiging.

Voorbeelden

• Een prototypisch voorbeeld dat lineaire kaarten geeft, hun naam is een functie ${\ DisplayStyle f: \ Mathbb {r} \ to \ Mathbb {r}: x \ mapsto cx}$waarvan de grafiek is een lijn door de oorsprong.^[7]
• Meer in het algemeen, elke huis ${\ TextStyle \ Mathbf {v} \ Mapsto C \ Mathbf {v}}$ waar ${\ displaystyle c}$ Gecentreerd in de oorsprong van een vectorruimte is een lineaire kaart.
• De nulkaart ${\ TextStyle \ Mathbf {x} \ Mapsto \ Mathbf {0}}$ tussen twee vectorruimtes (meer dan hetzelfde veld) is lineair.
• De identiteitskaart Op elke module staat een lineaire operator.
• Voor reële getallen, de kaart ${\ TextStyle X \ Mapsto X^{2}}$ is niet lineair.
• Voor reële getallen, de kaart ${\ TextStyle X \ Mapsto X+1}$ is niet lineair (maar is een affiene transformatie).
• Als ${\ displaystyle a}$ is een ${\ displaystyle m \ maal n}$ echte matrix, dan ${\ displaystyle a}$ Definieert een lineaire kaart van ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r} ^{n}}$ tot ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r} ^{M}}$ door een kolomvector ${\ DisplayStyle \ Mathbf {x} \ in \ Mathbb {r} ^{n}}$ naar de kolomvector ${\ displaystyle a \ mathbf {x} \ in \ mathbb {r} ^{m}}$. Omgekeerd, elke lineaire kaart tussen eindig-dimensionaal Vectorruimtes kunnen op deze manier worden weergegeven; zie de § Matrices, onderstaand.
• Als ${\ textstyle f: v \ to w}$ is een isometrie tussen echt genormeerde ruimtes zoals dat ${\ TextStyle f (0) = 0}$ dan ${\ displaystyle f}$ is een lineaire kaart. Dit resultaat is niet noodzakelijkerwijs waar voor complexe normale ruimte.^[8]
• Differentiatie Definieert een lineaire kaart uit de ruimte van alle differentiële functies naar de ruimte van alle functies. Het definieert ook een lineaire operator op de ruimte van allemaal Gladde functies (Een lineaire operator is een lineair endomorfisme, dat wil zeggen een lineaire kaart met hetzelfde domein en codomain). Een voorbeeld is
  $${\ displayStyle {\ frac {d} {dx}} \ links (c_ {1} f_ {1} (x)+c_ {2} f_ {2} (x)+\ cdots+c_ {n} f_ {n {n } (x) \ rechts) = c_ {1} {\ frac {df_ {1} (x)} {dx}}+c_ {2} {\ frac {df_ {2} (x)} {dx}}++ \ cdots +c_ {n} {\ frac {df_ {n} (x)} {dx}}.}$$

  
• Een definitief integraal Over sommigen interval I is een lineaire kaart uit de ruimte van alle echt-waarde-integreerbare functies op I tot ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r}}$. Bijvoorbeeld,
  $${\ displaystyle \ int _ {a}^{b} \ links [c_ {1} f_ {1} (x)+c_ {2} f_ {2} (x)+\ dots+c_ {n} f_ {n } (x) \ rechts] \, dx = {c_ {1} \ int _ {a}^{b} f_ {1} (x) \, dx}+c_ {2} \ int _ {a}^{ b} f_ {2} (x) \, dx +\ cdots +c_ {n} \ int _ {a}^{b} f_ {n} (x) \, dx.}$$

  
• Een onbepaald integraal (of antideratief) met een uitgangspunt met een vaste integratie definieert een lineaire kaart uit de ruimte van alle echt-gewaardeerde integreerbare functies op ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r}}$ naar de ruimte van alle reële gewaardeerde, differentabele functies op ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r}}$. Zonder een vast startpunt kaarten de antiderivatieve kaarten naar de quotiëntruimte van de onderscheidende functies door de lineaire ruimte van constante functies.
• Als ${\ DisplayStyle v}$ en ${\ DisplayStyle w}$ zijn eindig-dimensionale vectorruimtes boven een veld F, van respectieve dimensies m en n, dan de functie die lineaire kaarten toewijst ${\ textstyle f: v \ to w}$ tot n × m matrices op de manier beschreven in § Matrices (hieronder) is een lineaire kaart, en zelfs een lineair isomorfisme.
• De verwachte waarde van een willekeurige variabele (die in feite een functie is, en als een dergelijk element van een vectorruimte) is lineair, zoals voor willekeurige variabelen ${\ displaystyle x}$ en ${\ displaystyle y}$ wij hebben ${\ displaystyle e [x+y] = e [x]+e [y]}$ en ${\ displaystyle e [ax] = ae [x]}$, maar de variantie van een willekeurige variabele is niet lineair.

• 

  De functie ${\ TextStyle f: \ Mathbb {r} ^{2} \ to \ Mathbb {r} ^{2}}$ met ${\ textstyle f (x, y) = (2x, y)}$ is een lineaire kaart. Deze functie schaalt de ${\ TextStyle x}$ onderdeel van een vector door de factor ${\ TextStyle 2}$.

• 

  De functie ${\ textstyle f (x, y) = (2x, y)}$ is additief: het maakt niet uit of vectoren eerst worden toegevoegd en vervolgens in kaart worden gebracht of dat ze in kaart worden gebracht en uiteindelijk worden toegevoegd: ${\ textstyle f (\ mathbf {a} +\ mathbf {b}) = f (\ mathbf {a}) +f (\ mathbf {b})}$

• 

  De functie ${\ textstyle f (x, y) = (2x, y)}$ is homogeen: het maakt niet uit of een vector eerst wordt geschaald en vervolgens in kaart wordt gebracht of eerst in kaart gebracht en vervolgens geschaald: ${\ textstyle f (\ lambda \ mathbf {a}) = \ lambda f (\ mathbf {a})}$

Lineaire uitbreidingen

Vaak wordt een lineaire kaart geconstrueerd door deze te definiëren op een subset van een vectorruimte en dan het uitbreiden door lineariteit naar de lineaire spanwijdte van het domein. EEN lineaire extensie van een functie ${\ displaystyle f}$ is een verlenging van ${\ displaystyle f}$ voor sommigen Vector ruimte Dat is een lineaire kaart.^[9]

Veronderstellen ${\ displaystyle x}$ en ${\ displaystyle y}$ zijn vectorruimtes en ${\ displaystyle f: s \ to y}$ is een functie gedefinieerd op een subset ${\ DisplayStyle S \ Subeteq X.}$ Dan ${\ displaystyle f}$ kan worden uitgebreid tot een lineaire kaart ${\ DisplayStyle f: \ OperatorName {span} s \ to y}$ Als en alleen of wanneer ${\ DisplayStyle n> 0}$ is een geheel getal, ${\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n}}$ zijn scalars, en ${\ displaystyle s_ {1}, \ ldots, s_ {n} \ in s}$ zijn vectoren zodanig dat ${\ displaystyle 0 = c_ {1} s_ {1} +\ cdots +c_ {n} s_ {n},}$ dan noodzakelijkerwijs ${\ displaystyle 0 = c_ {1} f \ links (s_ {1} \ rechts) +\ cdots +c_ {n} f \ links (s_ {n} \ rechts).}$^[10] Als een lineaire uitbreiding van ${\ displaystyle f: s \ to y}$ bestaat dan de lineaire uitbreiding ${\ DisplayStyle f: \ OperatorName {span} s \ to y}$ is uniek en

geldt voor iedereen ${\ displaystyle n, c_ {1}, \ ldots, c_ {n},}$ en ${\ displaystyle s_ {1}, \ ldots, s_ {n}}$ zoals hierboven.^[10] Als ${\ DisplayStyle S}$ is lineair onafhankelijk dan elke functie ${\ displaystyle f: s \ to y}$ in elke vectorruimte heeft een lineaire extensie naar een (lineaire) kaart ${\ DisplayStyle \; \ OperatorName {span} S \ to y}$ (Het omgekeerde is ook waar).

Bijvoorbeeld, als ${\ DisplayStyle x = \ Mathbb {r} ^{2}}$ en ${\ displaystyle y = \ mathbb {r}}$ Dan de opdracht ${\ displayStyle (1,0) \ tot -1}$ en ${\ displaystyle (0,1) \ tot 2}$ kan lineair worden uitgebreid van de lineair onafhankelijke set vectoren ${\ DisplayStyle S: = \ {(1,0), (0,1) \}}$ naar een lineaire kaart op ${\ DisplayStyle \ OperatorName {span} \ {(1,0), (0,1) \} = \ Mathbb {r} ^{2}.}$ De unieke lineaire extensie ${\ DisplayStyle f: \ Mathbb {r} ^{2} \ to \ Mathbb {r}}$ is de kaart die verzendt ${\ displaystyle (x, y) = x (1,0)+y (0,1) \ in \ mathbb {r} ^{2}}$ tot

Elke (scalaire waarde) lineair functioneel ${\ displaystyle f}$ gedefinieerd op een vector subruimte van een echte of complexe vectorruimte ${\ displaystyle x}$ heeft een lineaire uitbreiding van alles ${\ DisplayStyle X.}$ Inderdaad de Hahn - Banach gedomineerde extension stelling Zelfs garandeert dat wanneer deze lineaire functioneel ${\ displaystyle f}$ wordt gedomineerd door sommigen seminorm ${\ displaystyle p: x \ to \ mathbb {r}}$ (inhoudende dat ${\ displaystyle | f (m) | \ leq p (m)}$ geldt voor iedereen ${\ displaystyle m}$ in het domein van ${\ displaystyle f}$) dan bestaat er een lineaire uitbreiding tot ${\ displaystyle x}$ dat wordt ook gedomineerd door ${\ DisplayStyle p.}$

Matrices

Als ${\ DisplayStyle v}$ en ${\ DisplayStyle w}$ zijn eindig-dimensionaal vectorruimtes en een basis wordt gedefinieerd voor elke vectorruimte, dan elke lineaire kaart van ${\ DisplayStyle v}$ tot ${\ DisplayStyle w}$ kan worden vertegenwoordigd door een Matrix.^[11] Dit is handig omdat het concrete berekeningen mogelijk maakt. Matrices leveren voorbeelden van lineaire kaarten op: if ${\ displaystyle a}$ is een echt ${\ displaystyle m \ maal n}$ matrix dan ${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = a \ mathbf {x}}$ beschrijft een lineaire kaart ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r} ^{n} \ to \ Mathbb {r} ^{m}}$ (zien Euclidische ruimte).

Laten ${\ displayStyle \ {\ Mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ Mathbf {v} _ {n} \}}$ een basis zijn voor ${\ DisplayStyle v}$. Dan elke vector ${\ DisplayStyle \ Mathbf {v} \ in v}$ wordt uniek bepaald door de coëfficiënten ${\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n}}$ in het veld ${\ DisplayStyle \ Mathbb {r}}$:

Als ${\ textstyle f: v \ to w}$ is een lineaire kaart,

wat impliceert dat de functie f wordt volledig bepaald door de vectoren ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}}$. Laat nu ${\ displayStyle \ {\ Mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ Mathbf {w} _ {m} \}}$ een basis zijn voor ${\ DisplayStyle w}$. Dan kunnen we elke vector vertegenwoordigen ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j})}$ net zo

Dus de functie ${\ displaystyle f}$ wordt volledig bepaald door de waarden van ${\ displaystyle a_ {ij}}$. Als we deze waarden in een ${\ displaystyle m \ maal n}$ Matrix ${\ displaystyle m}$, dan kunnen we het gemakkelijk gebruiken om de vectoruitgang van te berekenen ${\ displaystyle f}$ voor elke vector in ${\ DisplayStyle v}$. Te krijgen ${\ displaystyle m}$, elke kolom ${\ displaystyle j}$ van ${\ displaystyle m}$ is een vector

overeenkomstig met ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j})}$ Zoals hierboven gedefinieerd. Om het duidelijker te definiëren, voor een kolom ${\ displaystyle j}$ Dat komt overeen met de mapping ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j})}$,, waar ${\ displaystyle m}$ is de matrix van ${\ displaystyle f}$. Met andere woorden, elke kolom ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ heeft een overeenkomstige vector ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j})}$ wiens coördineert ${\ displaystyle a_ {1j}, \ cdots, a_ {mj}}$ zijn de elementen van de kolom ${\ displaystyle j}$. Een enkele lineaire kaart kan door veel matrices worden weergegeven. Dit komt omdat de waarden van de elementen van een matrix afhankelijk zijn van de gekozen basen.

De matrices van een lineaire transformatie kunnen visueel worden weergegeven:

1. Matrix voor ${\ textstyle t}$ ten opzichte van ${\ TextStyle b}$: ${\ TextStyle a}$
2. Matrix voor ${\ textstyle t}$ ten opzichte van ${\ TextStyle B '}$: ${\ TextStyle a '}$
3. Overgangsmatrix van ${\ TextStyle B '}$ tot ${\ TextStyle b}$: ${\ TextStyle p}$
4. Overgangsmatrix van ${\ TextStyle b}$ tot ${\ TextStyle B '}$: ${\ TextStyle p^{-1}}$

Zodanig dat begint in de linkeronderhoek ${\ textstyle \ links [\ Mathbf {v} \ rechts] _ {b '}}$ En op zoek naar de rechterbovenhoek ${\ textstyle \ links [t \ links (\ mathbf {v} \ rechts) \ rechts] _ {b '}}$, men zou links-multipy-dat wil zeggen, ${\ textstyle a '\ links [\ mathbf {v} \ rechts] _ {b'} = \ links [t \ links (\ mathbf {v} \ rechts) \ rechts] _ {b '}}$. De equivalente methode zou de "langere" methode zijn die vanuit hetzelfde punt met de klok mee gaat, zodanig dat ${\ textstyle \ links [\ Mathbf {v} \ rechts] _ {b '}}$ wordt links gekweekt met ${\ TextStyle p^{-1} ap}$, of ${\ textStyle p^{-1} ap \ links [\ Mathbf {v} \ rechts] _ {b '} = \ links [t \ links (\ mathbf {v} \ rechts) \ rechts] _ {b'} }$.

Voorbeelden in twee dimensies

In tweeën-dimensionaal ruimte R² Lineaire kaarten worden beschreven door 2 × 2 matrices. Dit zijn enkele voorbeelden:

• rotatie
  • tegen 90 graden tegen de klok in:
    $${\ DisplayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$$

    
  • onder een hoek θ tegen de klok in:
    $${\ displayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta &-\ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pMatrix}}}$$

    
• reflectie
  • door het x as:
    $${\ DisplayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$$

    
  • door het y as:
    $${\ DisplayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$$

    
  • door een lijn die een hoek maakt θ met de oorsprong:
    $${\ displayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} \ cos 2 \ theta & \ sin 2 \ theta \\\ sin 2 \ theta &-\ cos 2 \ theta \ end {pmatrix}}}}}}}}}}}}}$$

    
• het schalen door 2 in alle richtingen:
  $${\ displayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix}} = 2 \ mathbf {i}}$$

  
• horizontale afschuifmapping:
  $${\ DisplayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$$

  
• Knijp in kaart brengen:
  $${\ DisplayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} k & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {k}} \ end {pmatrix}}}}$$

  
• projectie op de y as:
  $${\ DisplayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}.$$

  

Vectorruimte van lineaire kaarten

De samenstelling van lineaire kaarten is lineair: als ${\ displaystyle f: v \ to w}$ en ${\ textstyle g: w \ to z}$ zijn lineair, dan ook hun samenstelling ${\ textstyle g \ circ f: v \ to z}$. Hieruit volgt dit dat de klas van alle vectorruimtes over een bepaald veld K, samen met K-lineaire kaarten als morfismen, vormt een categorie.

De omgekeerd Van een lineaire kaart is, wanneer gedefinieerd, opnieuw een lineaire kaart.

Als ${\ textstyle f_ {1}: v \ to w}$ en ${\ textstyle f_ {2}: v \ to w}$ zijn lineair, dan ook hun puntsweg som ${\ displaystyle f_ {1}+f_ {2}}$, die wordt gedefinieerd door ${\ displayStyle (f_ {1}+f_ {2}) (\ mathbf {x}) = f_ {1} (\ mathbf {x})+f_ {2} (\ mathbf {x})}$.

Als ${\ textstyle f: v \ to w}$ is lineair en ${\ textstyle \ alpha}$ is een element van het grondveld ${\ textstyle k}$, dan de kaart ${\ textstyle \ alpha f}$, gedefinieerd door ${\ textstyle (\ alpha f) (\ mathbf {x}) = \ alpha (f (\ mathbf {x}))}$, is ook lineair.

Dus de set ${\ TextStyle {\ Mathcal {l}} (v, w)}$ van lineaire kaarten van ${\ TextStyle v}$ tot ${\ textstyle w}$ zelf vormt een vectorruimte over ${\ textstyle k}$,^[12] Soms aangeduid ${\ TextStyle \ OperatorName {hom} (v, w)}$.^[13] Bovendien, in het geval dat ${\ textstyle v = w}$, deze vectorruimte, aangeduid ${\ TextStyle \ OperatorName {end} (v)}$, is een associatieve algebra onder Samenstelling van kaarten, omdat de samenstelling van twee lineaire kaarten opnieuw een lineaire kaart is en de samenstelling van kaarten altijd associatief is. Deze case wordt hieronder in meer detail besproken.

Opnieuw gegeven het eindige-dimensionale geval, als de basen zijn gekozen, komt de samenstelling van lineaire kaarten overeen met de Matrix vermenigvuldiging, de toevoeging van lineaire kaarten komt overeen met de Matrix -toevoeging, en de vermenigvuldiging van lineaire kaarten met scalars komt overeen met de vermenigvuldiging van matrices met scalars.

Endomorfismen en automorfismen

Een lineaire transformatie ${\ textstyle f: v \ to v}$ is een endomorfisme van ${\ TextStyle v}$; de set van al dergelijke endomorfismen ${\ TextStyle \ OperatorName {end} (v)}$ Samen met toevoeging vormt samenstelling en scalaire vermenigvuldiging zoals hierboven gedefinieerd een associatieve algebra met identiteitselement over het veld ${\ textstyle k}$ (en in het bijzonder een ring). Het multiplicatieve identiteitselement van deze algebra is de identiteitskaart ${\ TextStyle \ OperatorName {id}: v \ to v}$.

Een endomorfisme van ${\ TextStyle v}$ dat is ook een isomorfisme wordt een automorfisme van ${\ TextStyle v}$. De samenstelling van twee automorfismen is opnieuw een automorfisme en de set van alle automorfismen van ${\ TextStyle v}$ vormt een groep, de Automorfismegroep van ${\ TextStyle v}$ die wordt aangegeven door ${\ TextStyle \ OperatorName {aut} (v)}$ of ${\ TextStyle \ OperatorName {Gl} (v)}$. Omdat de automorfismen precies die zijn endomorfismen die omgekomen onder samenstelling bezitten, ${\ TextStyle \ OperatorName {aut} (v)}$ is de groep van eenheden in de ring ${\ TextStyle \ OperatorName {end} (v)}$.

Als ${\ TextStyle v}$ heeft een eindige dimensie ${\ textstyle n}$, dan ${\ TextStyle \ OperatorName {end} (v)}$ is isomorf naar de associatieve algebra van alles ${\ textstyle n \ maal n}$ matrices met vermeldingen in ${\ textstyle k}$. De Automorfism Group van ${\ TextStyle v}$ is isomorf naar de Algemene lineaire groep ${\ TextStyle \ OperatorName {Gl} (n, k)}$ van alles ${\ textstyle n \ maal n}$ Inverteerbare matrices met vermeldingen in ${\ textstyle k}$.

Kernel, afbeelding en de rank -nullity stelling

Als ${\ textstyle f: v \ to w}$ is lineair, we definiëren de kernel en de afbeelding of bereik van ${\ TextStyle f}$ door

${\ textstyle \ ker (f)}$ is een subruimte van ${\ TextStyle v}$ en ${\ TextStyle \ OperatorName {im} (f)}$ is een subruimte van ${\ textstyle w}$. Het volgende dimensie formule staat bekend als de Rank -nullity stelling:^[14]

Het nummer ${\ TextStyle \ Dim (\ OperatorName {im} (f))}$ wordt ook de rang van ${\ TextStyle f}$ en geschreven als ${\ TextStyle \ OperatorName {rank} (f)}$, of soms, ${\ textstyle \ rho (f)}$;^[15][16] het nummer ${\ textstyle \ dim (\ ker (f))}$ wordt de nietigheid van ${\ TextStyle f}$ en geschreven als ${\ TextStyle \ OperatorName {null} (f)}$ of ${\ textstyle \ nu (f)}$.^[15][16] Als ${\ TextStyle v}$ en ${\ textstyle w}$ zijn eindig-dimensionaal, bases zijn gekozen en ${\ TextStyle f}$ wordt vertegenwoordigd door de matrix ${\ TextStyle a}$, dan de rang en nietigheid van ${\ TextStyle f}$ zijn gelijk aan de rang en nietigheid van de matrix ${\ TextStyle a}$, respectievelijk.

Cokernel

Een subtielere invariant van een lineaire transformatie ${\ textstyle f: v \ to w}$ is de cokernel, die wordt gedefinieerd als

Dit is de dual Notie aan de kernel: net zoals de kernel een subruimte van de domein, De co-kernel is een quotiënt ruimte van de doelwit. Formeel heeft men de exacte volgorde

Deze kunnen aldus worden geïnterpreteerd: gegeven een lineaire vergelijking f(v) = w oplossen,

• de kernel is de ruimte van oplossingen naar de homogeen vergelijking f(v) = 0, en de dimensie is het aantal van graden van vrijheid In de ruimte van oplossingen, als het niet leeg is;
• De co-kernel is de ruimte van beperkingen waaraan de oplossingen moeten voldoen, en de dimensie ervan is het maximale aantal onafhankelijke beperkingen.

De dimensie van de co-kernel en de dimensie van de afbeelding (de rang) tellen op tot de dimensie van de doelruimte. Voor eindige dimensies betekent dit dat de dimensie van de quotiëntruimte W/f(V) is de dimensie van de doelruimte minus de dimensie van het beeld.

Overweeg de kaart als een eenvoudig voorbeeld f: R² → R², gegeven door f(x, y) = (0, y). Dan voor een vergelijking f(x, y) = (a, b) om een ​​oplossing te hebben, moeten we hebben a = 0 (één beperking), en in dat geval is de oplossingsruimte (x, b) of gelijkwaardig vermeld, (0, b) + (x, 0), (één vrijheidsgraad). De kernel kan worden uitgedrukt als de subruimte (x, 0) < V: de waarde van x is de vrijheid in een oplossing - terwijl de cokernel kan worden uitgedrukt via de kaart W → R, ${\ textstyle (a, b) \ mapsto (a)}$: Gegeven een vector (a, b), de waarde van a is de obstructie om een ​​oplossing te zijn.

Een voorbeeld dat de oneindige dimensionale behuizing illustreert, wordt door de kaart geboden f: R^∞ → R^∞, ${\ textstyle \ links \ {a_ {n} \ rechts \} \ mapsto \ links \ {b_ {n} \ rechts \}}$ met b₁ = 0 en b_{n + 1} = a_n voor n > 0. De afbeelding bestaat uit alle sequenties met eerste element 0, en dus bestaat de cokernel uit de klassen van sequenties met identiek eerste element. Dus, terwijl zijn kernel dimensie 0 heeft (het brengt alleen de nulreeks toe aan de nulsequentie), heeft de co-kernel dimensie 1. omdat het domein en de doelruimte hetzelfde zijn, de rang en de dimensie van de kernel tellen naar dezelfde som als de rang en de dimensie van de co-kernel (${\ textstyle \ aleph _ {0}+0 = \ aleph _ {0} +1}$), maar in het oneindige geval kan niet worden afgeleid dat de kernel en de co-kernel van een endomorfisme hebben dezelfde dimensie (0 ≠ 1). De omgekeerde situatie verkrijgt voor de kaart h: R^∞ → R^∞, ${\ textstyle \ links \ {a_ {n} \ rechts \} \ mapsto \ links \ {c_ {n} \ rechts \}}$ met c_n = a_{n + 1}. De afbeelding is de hele doelruimte, en daarom heeft de co-kernel dimensie 0, maar omdat het alle sequenties in kaart brengt waarin alleen het eerste element niet nul is tot de nulsequentie, heeft de kernel dimensie 1.

Inhoudsopgave

Voor een lineaire operator met eindige-dimensionale kernel en co-kernel kan men definiëren inhoudsopgave net zo:

namelijk de vrijheidsgraden minus het aantal beperkingen.

Voor een transformatie tussen eindige-dimensionale vectorruimtes is dit gewoon het verschil dim (V) - dim (W), per rang -nullity. Dit geeft een indicatie van hoeveel oplossingen of hoeveel beperkingen men heeft: als het in kaart brengt van een grotere ruimte naar een kleinere, kan de kaart zijn en dus geen vrijheidsgraden hebben, zelfs zonder beperkingen. Omgekeerd, als het in kaart brengen van een kleinere ruimte naar een grotere, kan de kaart niet zijn, en dus zal men beperkingen hebben, zelfs zonder vrijheidsgraden.

De index van een operator is precies de Euler -kenmerk van het 2-termijn complexe 0 → V → W → 0. in Operatortheorie, de index van Fredholm -operators is een studieobject, waarbij een groot resultaat de Atiyah - Singer Index Stelling.^[17]

Algebraïsche classificaties van lineaire transformaties

Geen classificatie van lineaire kaarten kan uitputtend zijn. De volgende onvolledige lijst somt enkele belangrijke classificaties op die geen extra structuur op de vectorruimte vereisen.

Laten V en W duiden vectorruimtes aan over een veld F en laat T: V → W Wees een lineaire kaart.

Monomorfisme

T schijnt zo te zijn injectief of een monomorfisme Als een van de volgende equivalente voorwaarden waar is:

1. T is een op een als een kaart van sets.
2. kerel T = {0_V}
3. dim (ker T) = 0
4. T is monisch of linker koelbaar, dat wil zeggen voor elke vectorruimte U en elk paar lineaire kaarten R: U → V en S: U → V, de vergelijking TR = TS impliceert R = S.
5. T is Linksinspannig, dat wil zeggen dat er een lineaire kaart bestaat S: W → V zoals dat Ster is de identiteitskaart Aan V.

Epimorfisme

T schijnt zo te zijn surjectief of een epimorfisme Als een van de volgende equivalente voorwaarden waar is:

1. T is op als een kaart van sets.
2. coker T = {0_W}
3. T is episch of rechterkoelbaar, dat wil zeggen voor elke vectorruimte U en elk paar lineaire kaarten R: W → U en S: W → U, de vergelijking RT = Ster impliceert R = S.
4. T is rechtsomkeer, dat wil zeggen dat er een lineaire kaart bestaat S: W → V zoals dat TS is de identiteitskaart Aan W.

Isomorfisme

T zou een isomorfisme Als het zowel link- als rechts-invertible is. Dit is gelijk aan T zowel één-op-één als op (a zijn buik van sets) of ook aan T zowel episch als monisch zijn, en dus een bimorfisme.

Als T: V → V is een endomorfisme dan:

• Als, voor een positief geheel getal n, de n-De itereer van T, Tⁿis dan identiek nul T schijnt zo te zijn nilpotent.
• Als T² = T, dan T schijnt zo te zijn idempotent
• Als T = ki, waar k is dan wat scalair T zou een schaaltransformatie of scalaire vermenigvuldigingskaart zijn; zien scalaire matrix.

Verandering van basis

Gegeven een lineaire kaart die een endomorfisme wiens matrix is A, in de basis B van de ruimte transformeert het vectorcoördinaten [u] als [v] = A[u]. Terwijl vectoren veranderen met het omgekeerde van B (Vectoren zijn contravariant) De omgekeerde transformatie is [v] = B[V '].

Dit vervangen in de eerste uitdrukking

Vandaar

Daarom is de matrix in de nieuwe basis EEN' = B⁻¹Abs, het zijn B de matrix van de gegeven basis.

Daarom wordt gezegd dat lineaire kaarten 1-co-1-contra-variant objecten, of type (1, 1) tensoren.

Continuïteit

A lineaire transformatie tussen topologische vectorruimtes, bijvoorbeeld genormeerde ruimtes, kan zijn continu. Als zijn domein en codomain hetzelfde zijn, zal het een continue lineaire operator. Een lineaire operator op een genormeerde lineaire ruimte is continu als en alleen als dat zo is begrensd, bijvoorbeeld wanneer het domein eindig-dimensionaal is.^[18] Een oneindig-dimensionaal domein kan hebben Discontinue lineaire operators.

Een voorbeeld van een onbeperkte, dus discontinue, lineaire transformatie is differentiatie op de ruimte van gladde functies uitgerust met de supremumnorm (een functie met kleine waarden kan een derivaat hebben met grote waarden, terwijl de afgeleide van 0 0 is). Voor een specifiek voorbeeld, zonde(nx)/n convergeert naar 0, maar zijn afgeleide Cos (nx) Is het niet, dus differentiatie is niet continu op 0 (en door een variatie van dit argument is het nergens continu).

Toepassingen

Een specifieke toepassing van lineaire kaarten is voor Geometrische transformaties, zoals die uitgevoerd in computer beelden, waarbij de vertaling, rotatie en schaling van 2D- of 3D -objecten wordt uitgevoerd door het gebruik van een transformatiematrix. Lineaire toewijzingen worden ook gebruikt als een mechanisme voor het beschrijven van verandering: bijvoorbeeld in calculus komen overeen met derivaten; of in relativiteit, gebruikt als een apparaat om de lokale transformaties van referentiekaders bij te houden.

Een andere toepassing van deze transformaties is in Compiler -optimalisaties van geneste luscode, en in parallellisatiecompiler technieken.

Zie ook

• Additieve kaart-Z-module homomorfisme
• Antilineaire kaart- Conjugaat homogene additieve kaart
• Gebogen functie- Speciaal type Booleaanse functie
• Begrensde operator- Lineaire transformatie tussen TVSS
• Cauchy's functionele vergelijking- Functionele vergelijking
• Continue lineaire operator
• Lineair functioneel
• Lineaire isometrie

Aantekeningen

Bibliografie

• Axler, Sheldon Jay (2015). Lineaire algebra goed gedaan (3e ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A. (2004). Handboek van wiskunde (4e ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Eindige-dimensionale vectorruimtes (2e ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrixanalyse (Tweede ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.
• Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (korte) introductie tot lineaire algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Lang, Serge (1987), Lineaire algebra (Derde ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96412-6
• Rudin, Walter (1973). Functionele analyse. Internationale series in pure en toegepaste wiskunde. Vol. 25 (eerste ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 9780070542259.
• Rudin, Walter (1976). Principes van wiskundige analyse. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3e ed.). New York: McGraw - Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1991). Functionele analyse. Internationale series in pure en toegepaste wiskunde. Vol. 8 (tweede ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. Oclc 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische vectorruimtes. GTM. Vol. 8 (tweede ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. Oclc 840278135.
• Schechter, Eric (1996). Handboek van analyse en de grondslagen. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. Oclc 175294365.
• Swartz, Charles (1992). Een inleiding tot functionele analyse. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. Oclc 24909067.
• Tu, Loring W. (2011). Een inleiding tot verdeelstukken (2e ed.). Springer. ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Wilansky, Albert (2013). Moderne methoden in topologische vectorruimtes. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. Oclc 849801114.