Elliptische baan

Animatie van een baan door excentriciteit
0,0 · 0,2 · 0,4 · 0,6 · 0,8

Twee lichamen met vergelijkbare massa rond een gemeenschappelijke zwerver met elliptische banen.

Twee lichamen met ongelijke massa rond een gemeenschappelijke zwerver met cirkelvormige banen.

Twee lichamen met zeer ongelijke massa in een baan om een gemeenschappelijke zwerver met cirkelvormige banen.

Een elliptische baan wordt afgebeeld in het kwadrant van de rechterlijke rechter van dit diagram, waar de Gravitationaal potentieel goed van de centrale massa vertoont potentiële energie en de kinetische energie van de orbitale snelheid wordt in rood weergegeven. De hoogte van de kinetische energie neemt af naarmate de snelheid van het cirkelen van de baan afneemt en de afstand toeneemt volgens de wetten van Kepler.

In astrodynamica of hemelse mechanica, een elliptische baan of elliptische baan is een Kepler Orbit Met een excentriciteit van minder dan 1; Dit omvat het speciale geval van een cirkelvormige baan, met excentriciteit gelijk aan 0. In strengere zin is het een Kepler -baan met de excentriciteit groter dan 0 en minder dan 1 (dus uitsluitend de cirkelvormige baan). In bredere zin is het de baan van een Kepler met negatief energie. Dit omvat de radiale elliptische baan, met excentriciteit gelijk aan 1.

In een Gravitational Two-Body-probleem met negatieve energie, beide lichamen volgen vergelijkbaar elliptische banen met hetzelfde omlooptijd rond hun gemeenschappelijke zwerver. Ook volgt de relatieve positie van het ene lichaam ten opzichte van het andere een elliptische baan.

Voorbeelden van elliptische banen zijn: HOHMANN -ORKEID ORBIT, Molniya Orbit, en Tundra Orbit.

Snelheid

Onder standaardaannames werken geen andere krachten behalve twee sferisch symmetrische lichamen m m₁ en M₂,^[1] de orbitale snelheid ( ${\ displaystyle v \,}$ ) van een lichaam dat langs een elliptische baan kan worden berekend uit de Vis-viva-vergelijking net zo:^[2]

{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}}-{1 \ over {a}} \ rechts)}}}

waar:

${\ displaystyle \ mu \,}$ is de Standaard zwaartekrachtparameter, G (m₁+m₂), vaak uitgedrukt als GM wanneer het ene lichaam veel groter is dan het andere.
${\ displaystyle r \,}$ is de afstand tussen het in een baan om de baan en het massamiddelpunt.
${\ displaystyle a \, \!}$ is de lengte van de semi-major as.

De snelheidsvergelijking voor een hyperbolisch traject heeft een van beide + ${\ displaystyle {1 \ over {a}}}$ , of het is hetzelfde met de conventie dat in dat geval a is negatief.

Omlooptijd

Onder standaardaannames de orbitale periode ( ${\ displaystyle t \, \!}$ ) van een lichaam dat langs een elliptische baan reist, kan worden berekend als:^[3]

{\ displaystyle t = 2 \ pi {\ sqrt {a^{3} \ over {\ mu}}}}

waar:

${\ DisplayStyle \ mu}$ is de Standaard zwaartekrachtparameter.
${\ displaystyle a \, \!}$ is de lengte van de semi-major as.

Conclusies:

De orbitale periode is gelijk aan die voor een cirkelvormige baan met de orbitale straal gelijk aan de semi-major-as ( ${\ displaystyle a \, \!}$ ),
Voor een bepaalde semi-major as is de orbitale periode niet afhankelijk van de excentriciteit (zie ook: Kepler's derde wet).

Energie

Onder standaardaannames, de specifieke orbitale energie ( ${\ DisplayStyle \ epsilon}$ ) van een elliptische baan is negatief en de orbitale energiebehoudvergelijking (de Vis-viva-vergelijking) voor deze baan kan het formulier aannemen:^[4]

{\ displayStyle {v^{2} \ over {2}}-{\ mu \ over {r}} =-{\ mu \ over {2a}} = \ epsilon <0}

waar:

${\ displaystyle v \,}$ is de orbitale snelheid van het in een baan om lichaam,
${\ displaystyle r \,}$ is de afstand van het inslaat lichaam van de centraal lichaam,
${\ displaystyle a \,}$ is de lengte van de semi-major as,
${\ displaystyle \ mu \,}$ is de Standaard zwaartekrachtparameter.

Conclusies:

Voor een bepaalde semi-major as is de specifieke orbitale energie onafhankelijk van de excentriciteit.

De ... gebruiken viriale stelling we vinden:

Het tijdgemiddelde van de specifieke potentiële energie is gelijk aan −2ε
- het tijdgemiddelde van r⁻¹ is a⁻¹
Het tijdgemiddelde van de specifieke kinetische energie is gelijk aan ε

Energie in termen van semi -grote as

Het kan nuttig zijn om de energie te kennen in termen van de semi -hoofdas (en de betrokken massa's). De totale energie van de baan wordt gegeven door

{\ displaystyle e = -g {\ frac {mm} {2a}}}

,

waar A de semi -grote as is.

Afleiding

Omdat zwaartekracht een centrale kracht is, is het hoekmomentum constant:

{\ displayStyle {\ dot {\ mathbf {l}}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {f} = \ mathbf {r} \ times f (r) \ mathbf {\ hat {r}} = 0 }

Bij de dichtstbijzijnde en verste benaderingen staat het hoekmomentum loodrecht op de afstand van de massale massa, daarom:

{\ displaystyle l = rp = rmv}

.

De totale energie van de baan wordt gegeven door^[5]

{\ displaystyle e = {\ frac {1} {2}} mv^{2} -g {\ frac {mm} {r}}}

.

We kunnen V vervangen door V en verkrijgen

{\ displaystyle e = {\ frac {1} {2}} {\ frac {l^{2}} {mr^{2}}}-g {\ frac {mm} {r}}}

.

Dit geldt dat R de dichtstbijzijnde / verste afstand is, dus we krijgen twee gelijktijdige vergelijkingen die we oplossen voor E:

{\ displaystyle e = -g {\ frac {mm} {r_ {1}+r_ {2}}}}

Sinds ${\ textstyle r_ {1} = a+a \ epsilon}$ en ${\ displaystyle r_ {2} = a-a \ epsilon}$ , waar epsilon de excentriciteit van de baan is, hebben we eindelijk het aangegeven resultaat.

Vluchtpadhoek

De vliegpadhoek is de hoek tussen de snelheidsvector van het orkitlichaam (= de vector raakt naar de momentane baan) en de lokale horizontale. Onder standaardaannames van het behoud van hoekmomentum de vliegpadhoek ${\ DisplayStyle \ Phi}$ voldoet aan de vergelijking:^[6]

{\ displaystyle H \, = r \, v \, \ cos \ phi}

waar:

${\ DisplayStyle H \,}$ is de specifiek relatief hoekmomentum van de baan,
${\ displaystyle v \,}$ is de orbitale snelheid van het in een baan om lichaam,
${\ displaystyle r \,}$ is de radiale afstand van het in een baan om het heen centraal lichaam,
${\ DisplayStyle \ Phi \,}$ is de vliegpadhoek

${\ displaystyle \ psi}$ is de hoek tussen de orbitale snelheidsvector en de semi-majoor as. ${\ DisplayStyle \ nu}$ is de lokale ware afwijking. ${\ displayStyle \ phi = \ nu +{\ frac {\ pi} {2}}-\ psi}$ , daarom,

{\ displaystyle \ cos \ phi = \ sin (\ psi -\ nu) = \ sin \ psi \ cos \ nu -\ cos \ psi \ sin \ nu = {\ frac {1+e \ cos \ nu} {\ sqrt {1+e^{2}+2e \ cos \ nu}}}}

{\ displayStyle \ tan \ phi = {\ frac {e \ sin \ nu} {1+e \ cos \ nu}}}

waar ${\ displaystyle e}$ is de excentriciteit.

Het hoekmomentum is gerelateerd aan het vectorkruisproduct van positie en snelheid, wat evenredig is met de sinus van de hoek tussen deze twee vectoren. Hier ${\ DisplayStyle \ Phi}$ wordt gedefinieerd als de hoek die hiervan verschilt van 90 graden, zodat de cosinus verschijnt in plaats van de sinus.

Bewegingsvergelijking

Van de initiële positie en snelheid

Een baanvergelijking definieert het pad van een een baan om lichaam ${\ DisplayStyle M_ {2} \, \!}$ in de omgeving van centraal lichaam ${\ DisplayStyle M_ {1} \, \!}$ ten opzichte van ${\ DisplayStyle M_ {1} \, \!}$ , zonder de positie als een functie van de tijd op te geven. Als de excentriciteit minder is dan 1, beschrijft de bewegingsvergelijking een elliptische baan. Omdat Kepler's vergelijking ${\ displaystyle m = e-e \ sin e}$ heeft geen generaal Oplossing met gesloten vorm voor de Excentrieke anomalie (E) In termen van de gemiddelde anomalie (M), bewegingsvergelijkingen als functie van tijd hebben ook geen oplossing voor gesloten vorm (hoewel Numerieke oplossingen bestaan voor beide).

De tijd-onafhankelijke padvergelijkingen van gesloten vorm van een elliptische baan ten opzichte van een centraal lichaam kunnen echter worden bepaald uit slechts een beginpositie ( ${\ DisplayStyle \ Mathbf {r}}$ ) en snelheid ( ${\ DisplayStyle \ Mathbf {v}}$ ).

Voor dit geval is het handig om de volgende veronderstellingen te gebruiken die enigszins verschillen van de standaardaannames hierboven:

De positie van het centrale lichaam staat op de oorsprong en is de primaire focus ( ${\ DisplayStyle \ Mathbf {f1}}$ ) van de ellips (als alternatief kan het massamiddelpunt worden gebruikt in plaats daarvan als het omlooplichaam een significante massa heeft)
De massa van het centrale lichaam (M1) is bekend
De beginpositie van de baan (de baan ( ${\ DisplayStyle \ Mathbf {r}}$ ) en snelheid ( ${\ DisplayStyle \ Mathbf {v}}$ ) zijn bekend
De ellips ligt in het xy-vlak

De vierde veronderstelling kan worden gemaakt zonder verlies van algemeenheid omdat drie punten (of vectoren) binnen een gemeenschappelijk vlak moeten liggen. Onder deze veronderstellingen moet de tweede focus (soms de "lege" focus genoemd) ook in het XY-vlak liggen: ${\ DisplayStyle \ Mathbf {f2} = \ left (f_ {x}, f_ {y} \ rechts)}$ .

Met behulp van vectoren

De algemene vergelijking van een ellips onder deze veronderstellingen met behulp van vectoren is:

{\ displayStyle | \ Mathbf {f2} -\ mathbf {p} |+| \ mathbf {p} | = 2a \ qquad \ mid z = 0}

waar:

${\ displaystyle a \, \!}$ is de lengte van de semi-major as.
${\ DisplayStyle \ Mathbf {f2} = \ left (f_ {x}, f_ {y} \ rechts)}$ is de tweede ("lege") focus.
${\ DisplayStyle \ Mathbf {P} = \ Left (x, y \ rechts)}$ is elke (x, y) waarde die voldoet aan de vergelijking.

De lengte van de semi-majoor-as (A) kan worden berekend als:

{\ displaystyle a = {\ frac {\ mu | \ mathbf {r} |} {2 \ mu -| \ mathbf {r} | \ mathbf {v} ^{2}}}}}

waar ${\ displaystyle \ mu \ = gm_ {1}}$ is de Standaard zwaartekrachtparameter.

De lege focus ( ${\ DisplayStyle \ Mathbf {f2} = \ left (f_ {x}, f_ {y} \ rechts)}$ ) kan worden gevonden door eerst de Excentriciteitsvector:

{\ DisplayStyle \ Mathbf {e} = {\ frac {\ Mathbf {r}} {| \ Mathbf {r} |}}-{\ frac {\ mathbf {v} \ mathbf {h}} {\ mu mu {\ mu mu ^ \ mu}}} \ mu {\ mu mu}}} \ mu}}} \ mu {\ mu mu}}} \ mu}}} \ mu {\ mu mu}} }}}

Waar ${\ DisplayStyle \ Mathbf {H}}$ is het specifieke hoekmomentum van het baanbrekende lichaam:^[7]

{\ DisplayStyle \ Mathbf {h} = \ Mathbf {r} \ Times \ Mathbf {v}}

Dan

{\ DisplayStyle \ Mathbf {f2} = -2a \ Mathbf {e}}

Met behulp van XY -coördinaten

Dit kan worden gedaan in Cartesiaanse coördinaten met behulp van de volgende procedure:

De algemene vergelijking van een ellips onder de bovenstaande veronderstellingen is:

{\ displayStyle {\ sqrt {\ links (f_ {x} -x \ rechts)^{2}+\ links (f_ {y} -y \ rechts)^{2}}}+{\ sqrt {x^{ 2}+y^{2}}} = 2a \ qquad \ mid z = 0}

Gegeven:

{\ displaystyle r_ {x}, r_ {y} \ quad}

De initiële positie coördineert

{\ displaystyle v_ {x}, v_ {y} \ quad}

De initiële snelheidscoördinaten

en

{\ displaystyle \ mu = gm_ {1} \ quad}

de zwaartekrachtparameter

Dan:

{\ displaystyle h = r_ {x} v_ {y} -r_ {y} v_ {x} \ quad}

specifiek hoekmomentum

{\ displaystyle r = {\ sqrt {r_ {x}^{2}+r_ {y}^{2}}} \ quad}

Initiële afstand van F1 (bij de oorsprong)

{\ displayStyle a = {\ frac {\ mu r} {2 \ mu -r \ links (v_ {x}^{2}+v_ {y}^{2} \ rechts)}} \ quad}

De lengte van de semi-majoor-as

{\ displaystyle e_ {x} = {\ frac {r_ {x}} {r}}-{\ frac {hv_ {y}} {\ mu}} \ quad}

de Excentriciteitsvector coördineert

{\ displaystyle e_ {y} = {\ frac {r_ {y}} {r}}+{\ frac {hv_ {x}} {\ mu}} \ quad}

Ten slotte coördineert de lege focuscoördinaten

{\ displaystyle f_ {x} =-2ae_ {x} \ quad}

{\ displaystyle f_ {y} =-2ae_ {y} \ quad}

Nu de resultaatwaarden FX, FY en a kan worden toegepast op de algemene ellipsvergelijking hierboven.

Orbitale parameters

De toestand van een in een baan op een bepaald moment wordt gedefinieerd door de positie en snelheid van het in een baan om de baan met betrekking tot het centrale lichaam, dat kan worden weergegeven door het driedimensionale Cartesiaanse coördinaten (Positie van het inslokte lichaam vertegenwoordigd door X, Y en Z) en de vergelijkbare Cartesiaanse componenten van de snelheid van het orkiterende lichaam. Deze set van zes variabelen, samen met tijd, worden de orbitale staatsvectoren. Gezien de massa van de twee lichamen bepalen ze de volledige baan. De twee meest algemene gevallen met deze 6 vrijheidsgraden zijn de elliptische en de hyperbolische baan. Speciale gevallen met minder vrijheidsgraden zijn de cirkelvormige en parabolische baan.

Omdat ten minste zes variabelen absoluut vereist zijn om een elliptische baan volledig weer te geven met deze set parameters, zijn zes variabelen vereist om een baan met enige set parameters weer te geven. Een andere set van zes parameters die vaak worden gebruikt, zijn de orbitale elementen.

Zonnestelsel

In de Zonnestelsel, planeten, asteroïden, meest kometen en enkele stukjes van ruimtepuin hebben ongeveer elliptische banen rond de zon. Strikt genomen draaien beide lichamen rond dezelfde focus van de ellips, degene die dichter bij het meer massieve lichaam is, maar wanneer een lichaam aanzienlijk massiever is, zoals de zon in relatie tot de aarde, kan de focus in het grotere worden opgenomen Massa -lichaam, en dus wordt gezegd dat de kleinere eromheen draait. De volgende grafiek van de perihelion en aphelion van de planeten, dwerg planeten en Halley's komeet toont de variatie van de excentriciteit van hun elliptische banen. Voor vergelijkbare afstanden van de zon duiden bredere staven meer excentriciteit aan. Let op de bijna nul-excentriciteit van aarde en Venus in vergelijking met de enorme excentriciteit van Halley's komeet en Eris.

Afstanden van geselecteerde lichamen van de Zonnestelsel van de zon. De linker- en rechterranden van elke balk komen overeen met de perihelion en lof van het lichaam, respectievelijk, vandaar lange staven duiden hoog aan orbitale excentriciteit. De straal van de zon is 0,7 miljoen km, en de straal van Jupiter (de grootste planeet) is 0,07 miljoen km, beide te klein om op dit beeld op te lossen.

Radiaal elliptisch traject

A radiaal traject kan een dubbele lijnsegment, wat een is gedegenereerde ellips Met semi-minieas = 0 en excentriciteit = 1. Hoewel de excentriciteit 1 is, is dit geen parabolische baan. De meeste eigenschappen en formules van elliptische banen zijn van toepassing. De baan kan echter niet worden gesloten. Het is een open baan die overeenkomt met het deel van de gedegenereerde ellips vanaf het moment dat de lichamen elkaar aanraken en van elkaar weggaan totdat ze elkaar opnieuw raken. In het geval van puntmassa's is één volledige baan mogelijk, beginnend en eindigend met een singulariteit. De snelheden aan het begin en einde zijn oneindig in tegengestelde richtingen en de potentiële energie is gelijk aan minus oneindig.

Het radiale elliptische traject is de oplossing van een probleem met twee lichamen met met een onmiddellijke nulsnelheid, zoals in het geval van druppel een object (luchtweerstand verwaarloosd).

Geschiedenis

De Babyloniërs waren de eerste die zich realiseerden dat de beweging van de zon langs de ecliptica was niet uniform, hoewel ze niet wisten waarom dit was; Het is vandaag bekend dat dit te wijten is aan de aarde die in een elliptische baan rond de zon beweegt, waarbij de aarde sneller beweegt wanneer deze dichter bij de zon is perihelion en langzamer bewegen wanneer het verder weg is lof.^[8]

In de 17e eeuw, Johannes Kepler ontdekte dat de banen waarlangs de planeten rond de zon reizen ellipsen zijn met de zon op één focus, en dit in de zijne beschreven Eerste wet van planetaire beweging. Later, Isaac Newton legde dit uit als een gevolg van hem Wet van universele zwaartekracht.

Zie ook

Referenties

^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. pp. 11–12. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)
^ Lissauer, Jack J.; De Pater, Imke (2019). Fundamentele planetaire wetenschappen: natuurkunde, chemie en bewoonbaarheid. New York, NY, VS: Cambridge University Press. pp. 29–31. ISBN 9781108411981.
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. p. 33. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. pp. 27–28. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. p. 15. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. p. 18. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. p. 17. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)
^ David Leverington (2003), Babylon to Voyager and Beyond: A History of Planetary Astronomy, Cambridge University Press, pp. 6–7, ISBN 0-521-80840-5

Bronnen

D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "De eerste-orde orbitale vergelijking". American Journal of Physics. 75 (4): 352–355. Bibcode:2007AMJPH..75..352D. doen:10.1119/1.2432126.
D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "De zwaartekracht ellips". Journal of Mathematical Physics. 50 (2): 022901. arxiv:0802.2435. Bibcode:2009JMP .... 50A2901M. doen:10.1063/1.3078419.
Curtis, Howard D. (2019). Orbitale mechanica voor technische studenten (4e ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-102133-0.

Externe links

Java Applet die de baan van een satelliet animeert in een elliptische Kepler-baan rond de aarde met elke waarde voor semi-major as en excentriciteit.
Apogee - Perigee Lunar fotografische vergelijking
Aphelion - Perihelion Solar fotografische vergelijking
http://www.castor2.ca

[1] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. pp. 11–12. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)

[lissauer2019-2] Lissauer, Jack J.; De Pater, Imke (2019). Fundamentele planetaire wetenschappen: natuurkunde, chemie en bewoonbaarheid. New York, NY, VS: Cambridge University Press. pp. 29–31. ISBN 9781108411981.

[3] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. p. 33. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)

[4] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. pp. 27–28. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)

[5] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. p. 15. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)

[6] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. p. 18. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)

[7] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals of Astrodynamics (Eerste ed.). New York: Dover. p. 17. ISBN 0-486-60061-0.{{}}: CS1 Onderhoud: Meerdere namen: Lijst met auteurs (link)

[8] David Leverington (2003), Babylon to Voyager and Beyond: A History of Planetary Astronomy, Cambridge University Press, pp. 6–7, ISBN 0-521-80840-5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]