Diagonale matrix

In lineaire algebra, a diagonale matrix is een Matrix waarin de inzendingen buiten de Hoofddiagonaal zijn allemaal nul; De term verwijst meestal naar vierkante matrices. Elementen van de hoofddiagonaal kunnen nul of niet -nul zijn. Een voorbeeld van een 2 × 2 diagonale matrix is ${\ displaystyle \ links [{\ begin {smallMatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \ end {smallMatrix}} \ rechts]}$ , terwijl een voorbeeld van een diagonale matrix van 3 × 3 is ${\ displaystyle \ links [{\ begin {smallMatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {smallMatrix}} \ rechts]}$ . Een identiteitsmatrix van elke grootte, of een veelvoud ervan (a scalaire matrix), is een diagonale matrix.

Een diagonale matrix wordt soms een schalende matrix, omdat matrix vermenigvuldiging ermee resulteert in het veranderen van schaal (grootte). De bepalende factor is het product van zijn diagonale waarden.

Definitie

Zoals hierboven vermeld, is een diagonale matrix een matrix waarin alle off-diagonale inzendingen nul zijn. Dat wil zeggen de matrix $D = (d i, j)$ met n kolommen en n Rijen is diagonaal als

{\ displaystyle \ forall i, j \ in \ {1,2, \ ldots, n \}, i \ neq j \ impliceert d_ {i, j} = 0.}

De belangrijkste diagonale inzendingen zijn echter onbeperkt.

De voorwaarde diagonale matrix kan soms verwijzen naar een rechthoekige diagonale matrix, dat is een m-door-n matrix met alle vermeldingen niet van de vorm d_i,i nul zijn. Bijvoorbeeld:

{\ displayStyle {\ begin {bMatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {bMatrix}}}}

of

{\ DisplayStyle {\ begin {bMatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \ end {bMatrix}}}}

Vaker echter, diagonale matrix verwijst naar vierkante matrices, die expliciet kunnen worden gespecificeerd als een vierkante diagonale matrix. Een vierkante diagonale matrix is een symmetrische matrix, dus dit kan ook een symmetrische diagonale matrix.

De volgende matrix is vierkante diagonale matrix:

{\ DisplayStyle {\ begin {bMatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \ end {bMatrix}}}

Als de vermeldingen zijn echte getallen of complexe getallen, dan is het een normale matrix ook.

In de rest van dit artikel zullen we alleen vierkante diagonale matrices beschouwen en ze eenvoudigweg noemen als "diagonale matrices".

Vector-naar-matrix diag-operator

Een diagonale matrix ${\ DisplayStyle D}$ kan worden geconstrueerd vanuit een vector ${\ DisplayStyle \ Mathbf {a} = {\ begin {BMatrix} A_ {1} & \ DOTSM & A_ {n} \ end {BMatrix}}^{\ Textsf {t}}}$ de ... gebruiken ${\ DisplayStyle \ OperatorName {Diag}}$ Operator:

{\ DisplayStyle d = \ OperatorName {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}

Dit kan compacter worden geschreven als ${\ DisplayStyle d = \ OperatorName {Diag} (\ Mathbf {A})}$ .

Dezelfde operator wordt ook gebruikt om te vertegenwoordigen Blokdiagonale matrices net zo ${\ DisplayStyle a = \ OperatorName {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ Waar elk argument ${\ displaystyle a_ {i}}$ is een matrix.

De ${\ DisplayStyle \ OperatorName {Diag}}$ Operator kan worden geschreven als:

{\ DisplayStyle \ OperatorName {Diag} (\ Mathbf {A}) = \ Left (\ Mathbf {A} \ Mathbf {1} ^{\ Textsf {T}} \ rechts) \ Circ i}

waar

{\ DisplayStyle \ Circ}

vertegenwoordigt de Hadamard -product en

{\ DisplayStyle \ Mathbf {1}}

is een constante vector met elementen 1.

Matrix-naar-vector diag-operator

De inverse matrix-tot-vector ${\ DisplayStyle \ OperatorName {Diag}}$ Operator wordt soms aangeduid door de identiek genoemde ${\ DisplayStyle \ OperatorName {diag} (d) = {\ begin {BMatrix} a_ {1} & \ dotsm & a_ {n} \ end {bMatrix}}^{\ textsf {t}}}$ waar het argument nu een matrix is en het resultaat een vector is van zijn diagonale vermeldingen.

De volgende eigenschap geldt:

{\ DisplayStyle \ OperatorName {diag} (ab) = \ sum _ {j} \ links (a \ circ b^{\ textsf {t}} \ rechts) _ {ij}}

Scalaire matrix

Een diagonale matrix met gelijke diagonale vermeldingen is een scalaire matrix; dat wil zeggen een scalair veelvoud λ van de identiteitsmatrix $I$ . Het effect op een vector is scalaire vermenigvuldiging door λ. Een scalaire matrix van 3 × 3 heeft bijvoorbeeld de vorm:

{\ DisplayStyle {\ begin {bMatrix} \ lambda & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda \ end {bMatrix}} \ equiv \ lambda {\ boldsymbol

De scalaire matrices zijn de centrum van de algebra van matrices: dat wil zeggen, het zijn precies de matrices dat pendelen met alle andere vierkante matrices van dezelfde grootte.^[a] Daarentegen over een veld (zoals de reële getallen), pendt een diagonale matrix met alle diagonale elementen alleen maar met diagonale matrices (zijn centralizer is de set diagonale matrices). Dat komt omdat als een diagonale matrix ${\ DisplayStyle d = \ OperatorName {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ heeft ${\ displaystyle a_ {i} \ neq a_ {j},}$ dan een matrix gegeven ${\ displaystyle m}$ met ${\ displaystyle m_ {ij} \ neq 0,}$ de ${\ displaystyle (i, j)}$ Term van de producten zijn: ${\ displaystyle (dm) _ {ij} = a_ {i} m_ {ij}}$ en ${\ displaystyle (md) _ {ij} = m_ {iJ} a_ {j},}$ en ${\ displaystyle a_ {j} m_ {iJ} \ neq m_ {iJ} a_ {i}}$ (omdat men zich kan verdelen ${\ displaystyle m_ {ij}}$ ), dus ze pendelen niet tenzij de off-diagonale termen nul zijn.^[b] Diagonale matrices waarbij de diagonale ingangen niet allemaal gelijk of allemaal verschillend zijn, hebben centrale centrale tussen de hele ruimte en alleen diagonale matrices.^[1]

Voor een abstracte vectorruimte V (in plaats van de betonnen vectorruimte ${\ DisplayStyle K^{n}}$ ), de analoog van scalaire matrices zijn scalaire transformaties. Dit geldt meer in het algemeen voor een module M over een ring R, met de endomorfisme algebra Einde(M) (Algebra van lineaire operators op M) De algebra van matrices vervangen. Formeel is scalaire vermenigvuldiging een lineaire kaart, die een kaart induceert ${\ displaystyle r \ to \ operatorName {end} (m),}$ (van een scalair λ met de overeenkomstige scalaire transformatie, vermenigvuldiging door λ) Tentoonstelling van het einde (M) als een R-algebra. Voor vectorruimten zijn de scalaire transformaties precies de centrum van de endomorfisme -algebra, en, op dezelfde manier, zijn omkeerbare transformaties het midden van de Algemene lineaire groep GL (V). De eerste is meer in het algemeen waar Gratis modules ${\ displaystyle m \ cong r^{n}}$ , waarvoor de algebra van het endomorfisme isomorf is voor een matrixalgebra.

Vectoractiviteiten

Het vermenigvuldigen van een vector met een diagonale matrix vermenigvuldigt elk van de termen met de overeenkomstige diagonale invoer. Gegeven een diagonale matrix ${\ DisplayStyle d = \ OperatorName {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ en een vector ${\ DisplayStyle \ Mathbf {v} = {\ begin {BMatrix} x_ {1} & \ Dotsm & x_ {n} \ end {bMatrix}}^{\ textsf {t}}}$ , het product is:

{\ displayStyle d \ mathbf {v} = \ operatorName {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) {\ begin {bMatrix} x_ {1} \\ vdots \\ x_ {n} \ end {bMatrix}} = {\ begin {bMatrix} a_ {1} \\ & \ ddots \\ && a_ {n} \ eind {n} \ end {bMatrix}} = {\ begin {bMatrix} a_ {1} x_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} x_ {n} \ end {bMatrix}}.}.}.

Dit kan compacter worden uitgedrukt door een vector te gebruiken in plaats van een diagonale matrix, ${\ DisplayStyle \ Mathbf {d} = {\ begin {BMatrix} A_ {1} & \ Dotsm & a_ {n} \ end {BMatrix}}^{\ Textsf {t}}}$ en het nemen van de Hadamard -product van de vectoren (onderweg product), aangeduid ${\ DisplayStyle \ Mathbf {D} \ Circ \ Mathbf {v}}$ :

D\mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\ circ {\ begin {bMatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bMatrix}} = {\ begin {bMatrix} a_ {1} x_ {1} \\ vdots \\ a_ \\ a_ \\ a_ \\ a_ \\ a_ \\ a_ \\ a_ \\ { n} x_ {n} \ end {bMatrix}}.

Dit is wiskundig equivalent, maar vermijdt alle nul termen hiervan op te slaan schaarse matrix. Dit product wordt dus gebruikt in Machine Learning, zoals het berekenen van producten van derivaten in backpropagatie of IDF -gewichten vermenigvuldigen TF-IDF,^[2] Sinds wat Blas Frameworks, die matrices efficiënt vermenigvuldigen, omvatten geen Hadamard -productcapaciteit.^[3]

Matrixbewerkingen

De bewerkingen van matrix -toevoeging en Matrix vermenigvuldiging zijn vooral eenvoudig voor diagonale matrices. Schrijven $Diag (a 1, ..., a n)$ Voor een diagonale matrix waarvan de diagonale inzendingen in de linkerbovenhoek zijn a₁, ..., a_n. Vervolgens hebben we voor toevoeging

Diag (a 1, ..., a n)

+

Diag (b 1, ..., b n)

=

Diag (a 1 + b 1, ..., a n + b n)

en voor Matrix vermenigvuldiging,,

Diag (a 1, ..., a n)

Diag (b 1, ..., b n)

=

Diag (a 1 b 1, ..., a n b n)

.

De diagonale matrix $Diag (a 1, ..., a n)$ is inverteerbaar als en alleen als de inzendingen a₁, ..., a_n zijn allemaal niet nul. In dit geval hebben we dat

Diag (a 1, ..., a n) -1

=

Diag (a 1 -1, ..., a n -1)

.

In het bijzonder vormen de diagonale matrices een onderlinge van de ring van allemaal n-door-n matrices.

Een vermenigvuldiging van een n-door-n Matrix $A$ van de links met $Diag (a 1, ..., a n)$ bedraagt het vermenigvuldigen van de $i$ -e rij van $A$ door $a i$ voor iedereen $i$ ; De matrix vermenigvuldigen $A$ van de Rechtsaf met $Diag (a 1, ..., a n)$ bedraagt het vermenigvuldigen van de $i$ -e kolom van $A$ door $a i$ voor iedereen $i$ .

Operatormatrix in eigenbasis

Zoals uitgelegd in Bepaling van de coëfficiënten van operatormatrix, er is een speciale basis, $e 1, ..., e n$ , waarvoor de matrix ${\ displaystyle a}$ neemt de diagonale vorm aan. Vandaar in de bepalende vergelijking ${\ textstyle a \ mathbf {e} _ {j} = \ sum _ {i} a_ {i, j} \ mathbf {e} _ {i}}$ , alle coëfficiënten ${\ displaystyle a_ {i, j}}$ met $i \neq j$ zijn nul en laat slechts één termijn over. De overlevende diagonale elementen, ${\ displaystyle a_ {i, i}}$ , staan bekend als eigenwaarden en aangeduid met ${\ DisplayStyle \ Lambda _ {i}}$ in de vergelijking, die vermindert tot ${\ displaystyle a \ mathbf {e} _ {i} = \ lambda _ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$ . De resulterende vergelijking staat bekend als eigenwaarde vergelijking^[4] en gebruikt om de karakteristiek polynoom en verder, eigenwaarden en eigenvectoren.

Met andere woorden, de eigenwaarden van $Diag (λ 1, ..., λ n)$ zijn $λ 1, ..., λ n$ met geassocieerd eigenvectoren van $e 1, ..., e n$ .

Eigendommen

De bepalend van $Diag (a 1, ..., a n)$ is het product $a 1 \dots a n$ .
De doorgeven van een diagonale matrix is opnieuw diagonaal.
Waar alle matrices vierkant zijn,
- Een matrix is diagonaal als en alleen als deze driehoekig is en normaal.
- Een matrix is diagonaal als en alleen als het beide is bovenste- en lagere terrein.
- Een diagonale matrix is symmetrisch.
De identiteitsmatrix I_n en nulmatrix zijn diagonaal.
Een 1 × 1 matrix is altijd diagonaal.

Toepassingen

Diagonale matrices komen voor in veel gebieden van lineaire algebra. Vanwege de eenvoudige beschrijving van de matrixbewerking en eigenwaarden/eigenvectoren die hierboven zijn gegeven, is het meestal wenselijk om een gegeven matrix of lineaire kaart door een diagonale matrix.

In feite een gegeven n-door-n Matrix $A$ is vergelijkbaar naar een diagonale matrix (wat betekent dat er een matrix is $X$ zoals dat $X -1 BIJL$ is diagonaal) als en alleen als het heeft $n$ lineair onafhankelijk eigenvectoren. Van dergelijke matrices wordt gezegd dat ze zijn diagonaliseerbaar.

Over de veld van echt of complex Cijfers, meer is waar. De spectrale stelling zegt dat alles normale matrix is unitair vergelijkbaar naar een diagonale matrix (als $Aa * = A * A$ dan bestaat er een eenheidsmatrix $U$ zoals dat $UAU *$ is diagonaal). Verder de singuliere waarden ontbinding impliceert dat voor elke matrix $A$ , er bestaan unitaire matrices $U$ en $V$ zoals dat $U * Av$ is diagonaal met positieve inzendingen.

Operatortheorie

In Operatortheorie, met name de studie van PDES, operators zijn bijzonder gemakkelijk te begrijpen en PDE's gemakkelijk op te lossen als de operator diagonaal is met betrekking tot de basis waarmee men werkt; Dit komt overeen met een Scheidende gedeeltelijke differentiaalvergelijking. Daarom is een belangrijke techniek voor het begrijpen van operators een verandering van coördinaten - in de taal van operators, een integrale transformatie- die de basis verandert in een eigenbasis van eigenfuncties: waardoor de vergelijking scheidbaar is. Een belangrijk voorbeeld hiervan is de Fourier -transformatie, die de constante coëfficiëntdifferentiatie -operators (of meer in het algemeen vertaalinvariante operators) diagonaliseert, zoals de Laplaciaanse operator, bijvoorbeeld in de warmtevergelijking.

Vooral gemakkelijk zijn vermenigvuldigingsoperators, die worden gedefinieerd als vermenigvuldiging door (de waarden van) een vaste functie - de waarden van de functie op elk punt komen overeen met de diagonale vermeldingen van een matrix.

Zie ook

Aantekeningen

^ Bewijs: gegeven de elementaire matrix ${\ displaystyle e_ {ij}}$ , ${\ displaystyle me_ {ij}}$ is de matrix met alleen de i-th rij van M en ${\ displaystyle e_ {ij} m}$ is de vierkante matrix met alleen de M j-de kolom, dus de niet-diagonale vermeldingen moeten nul zijn, en de ith diagonale invoer veel gelijk aan de jTH Diagonal Entry.
^ Over meer algemene ringen geldt dit niet, omdat men niet altijd kan delen.

Referenties

^ "Diagonale matrices pendelen altijd?". Stapeluitwisseling. 15 maart 2016. Opgehaald 4 augustus, 2018.
^ Sahami, Mehran (2009-06-15). Tekstmining: classificatie, clustering en toepassingen. CRC Press. p. 14. ISBN 9781420059458.
^ "Elementgewijze vector-vector vermenigvuldiging in BLAS?". stackoverflow.com. 2011-10-01. Opgehaald 2020-08-30.
^ Nabij, James (2010). "Hoofdstuk 7.9: eigenwaarden en eigenvectoren" (PDF). Wiskundige hulpmiddelen voor natuurkunde. ISBN 978-0486482125. Opgehaald 1 januari, 2012.

Bronnen

Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrixanalyse, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6

[1] Bewijs: gegeven de elementaire matrix ${\ displaystyle e_ {ij}}$ , ${\ displaystyle me_ {ij}}$ is de matrix met alleen de i-th rij van M en ${\ displaystyle e_ {ij} m}$ is de vierkante matrix met alleen de M j-de kolom, dus de niet-diagonale vermeldingen moeten nul zijn, en de ith diagonale invoer veel gelijk aan de jTH Diagonal Entry.

[2] Over meer algemene ringen geldt dit niet, omdat men niet altijd kan delen.

[3] "Diagonale matrices pendelen altijd?". Stapeluitwisseling. 15 maart 2016. Opgehaald 4 augustus, 2018.

[4] Sahami, Mehran (2009-06-15). Tekstmining: classificatie, clustering en toepassingen. CRC Press. p. 14. ISBN 9781420059458.

[5] "Elementgewijze vector-vector vermenigvuldiging in BLAS?". stackoverflow.com. 2011-10-01. Opgehaald 2020-08-30.

[6] Nabij, James (2010). "Hoofdstuk 7.9: eigenwaarden en eigenvectoren" (PDF). Wiskundige hulpmiddelen voor natuurkunde. ISBN 978-0486482125. Opgehaald 1 januari, 2012.

[a]

[b]

[1]

[2]

[3]

[4]

Matrix klassen
Expliciet beperkte inzendingen	Alternatief Anti-diagonaal Anti-hermitisch Antisymmetrisch Pijlpunt Band Bidiagonaal Bisymmetrisch Blokdiagonaal Blok Blok tridiagonaal Boolean Cauchy Centrosymmetrisch Conferentie Complexe Hadamard Copositief Diagonaal dominant Diagonaal Discrete Fourier -transformatie Elementair Gelijkwaardig Frobenius Gegeneraliseerde permutatie Hadamard Hankel Hermitiaans Hessenberg Hol Geheel getal Logisch Matrixeenheid Metzler Moore Niet negatief Pentadiagonaal Permutatie Persymmetrisch Polynoom Quaternionisch Handtekening Scheefhermitisch Scheefsymetrisch Skyline Schaars Sylvester Symmetrisch Toeplitz Driehoekig Tridiagonaal Vandermonde Walsh Z
Constante	Aandelenbeurs Hilbert Identiteit Lehmer Van die Pascal Pauli Redheffer Verschuiving Nul
Voorwaarden over eigenwaarden of eigenvectoren	Metgezel Convergerend Defecte Definitief Diagonaliseerbaar Hurwitz Positief gedefineerd Stieltjes
Bevredigende voorwaarden op producten of omkeren	Congruent Idempotent of Projectie Inverteerbaar Ingewikkeld Nilpotent Normaal Orthogonaal Unimodulair Niet uit Eenheid Totaal unimodulair Weging
Met specifieke toepassingen	Doorgeven Afwisselend teken Verhoogd Bézout Meran Cartan Circulerend Cofactor Commutatie Verwardheid Coxeter Afstand Duplicatie en eliminatie Euclidische afstand Fundamentele (lineaire differentiaalvergelijking) Generator Gram Hessisch Gezinshoofd Jacobiaans Moment Afbetalen Plukken Willekeurig Rotatie Zaal Scheren Gelijkenis Symplectisch Volkomen positief Transformatie
Gebruikt in statistieken	Centreren Correlatie Covariantie Ontwerp Dubbel stochastisch Fisher -informatie Hoed Nauwkeurigheid Stochastisch Overgang
Gebruikt in Graph -theorie	Aangrenzendheid Biadjacency Rang Edmonds Incidentie Laplaciaans Seidel Ondertekend
Gebruikt in wetenschap en engineering	Cabibbo - Kobayashi - Maskawa Dikte Fundamental (Computer Vision) Fuzzy associatief Gamma Gell-mann Hamiltoniaans Onregelmatig Overlappen S Staatsovergang Vervanging Z (chemie)
Gerelateerde termen	Jordan normale vorm Lineaire onafhankelijkheid Matrix exponentieel Matrixrepresentatie van conische secties Perfecte matrix Pseudoinverse Rij echelon vorm Wronskian
Wiskundeportaal Lijst met matrices Categorie: matrices