Coördinatie systeem

"Coördineren" omleidt hier. Voor coördinaten op aarde, zie Ruimtelijk referentiesysteem. Zie voor ander gebruik Coördineren (ondubbelzinnig).
Zie voor geografische coördinaten op Wikipedia.
De Sferisch coördinatensysteem wordt vaak gebruikt in natuurkunde. Het wijst drie getallen (bekend als coördinaten) toe aan elk punt in Euclidische ruimte: radiale afstand r, polaire hoek θ (Theta) en azimutale hoek φ (phi). Het symbool ρ (rho) wordt vaak gebruikt in plaats van r.

In geometrie, a coördinatie systeem is een systeem dat een of meer gebruikt cijfers, of coördineert, om de positie van de punt of andere geometrische elementen op een verdeelstuk zoals Euclidische ruimte.[1][2] De volgorde van de coördinaten is aanzienlijk en ze worden soms geïdentificeerd door hun positie in een geordende tuple en soms door een brief, zoals in "de x-Coordinate ". De coördinaten worden genomen om te zijn echte getallen in Elementaire wiskunde, maar misschien complexe getallen of elementen van een meer abstract systeem zoals een commutatieve ring. Het gebruik van een coördinatensysteem maakt het mogelijk om problemen in de geometrie te vertalen in problemen over cijfers en vice versa; Dit is de basis van analytische meetkunde.[3]

Veel voorkomende coördinatensystemen

Nummerlijn

Hoofd artikel: Nummerlijn

Het eenvoudigste voorbeeld van een coördinatensysteem is de identificatie van punten op een lijn met reële getallen met behulp van de nummerlijn. In dit systeem een ​​willekeurig punt O (de oorsprong) wordt gekozen op een bepaalde lijn. De coördinaat van een punt P wordt gedefinieerd als de ondertekende afstand van O tot P, waar de ondertekende afstand de afstand is die als positief of negatief wordt opgenomen, afhankelijk van welke kant van de lijn P leugens. Elk punt krijgt een unieke coördinaat en elk reëel getal is de coördinaat van een uniek punt.[4]

The number line

Cartesisch coördinatenstelsel

Hoofd artikel: Cartesisch coördinatenstelsel
De Cartesisch coördinatenstelsel in het vliegtuig.

Het prototypische voorbeeld van een coördinatensysteem is het Cartesisch coördinatenstelsel. In de vlak, twee loodrecht Lijnen worden gekozen en de coördinaten van een punt worden beschouwd als de ondertekende afstanden van de lijnen.

Rectangular coordinates.svg

In drie dimensies, drie wederzijds orthogonaal Vliegtuigen worden gekozen en de drie coördinaten van een punt zijn de ondertekende afstanden van elk van de vliegtuigen.[5] Dit kan worden gegeneraliseerd om te creëren n coördineert voor elk punt in n-Dimensionale Euclidische ruimte.

Afhankelijk van de richting en volgorde van de coördinaatassen, kan het driedimensionale systeem een rechtshandig of een linkshandig systeem. Dit is een van de vele coördinatensystemen.

Polair coördinatensysteem

Hoofd artikel: Polair coördinatensysteem

Een ander veel voorkomend coördinatensysteem voor het vlak is de polair coördinatensysteem.[6] Een punt wordt gekozen als de pool en een straal vanaf dit punt wordt genomen als de polaire as. Voor een bepaalde hoek θ, er is een enkele lijn door de pool waarvan de hoek met de polaire as is θ (gemeten tegen de klok in van de as naar de lijn). Dan is er een uniek punt op deze lijn waarvan de ondertekende afstand tot de oorsprong is r Voor een gegeven nummer r. Voor een bepaald paar coördinaten (r,,θ) Er is een enkel punt, maar elk punt wordt weergegeven door vele paren coördinaten. Bijvoorbeeld, (r,,θ), (r,,θ+2π) en ( -r,,θ+π) zijn allemaal polaire coördinaten voor hetzelfde punt. De paal wordt weergegeven door (0, θ) voor elke waarde van θ.

Cilindrische en sferische coördinatensystemen

Hoofdartikelen: Cilindrisch coördinatensysteem en Sferisch coördinatensysteem
Cilindrisch coördinatensysteem

Er zijn twee gemeenschappelijke methoden voor het uitbreiden van het polaire coördinatensysteem tot drie dimensies. In de cilindrisch coördinatensysteem, a z-Coördinaat met dezelfde betekenis als in Cartesiaanse coördinaten wordt toegevoegd aan de r en θ Polaire coördinaten geven een drievoudige (r,,θ,,z).[7] Sferische coördinaten gaan een stap verder door het paar cilindrische coördinaten om te zetten (r,,z) naar polaire coördinaten (ρ,,φ) Een drievoudige (ρ,,θ,,φ).[8]

Homogeen coördinatensysteem

Hoofd artikel: Homogene coördinaten

Een punt in het vlak kan worden weergegeven in homogene coördinaten door een triple (x,,y,,z) waar x/z en y/z zijn de Cartesiaanse coördinaten van het punt.[9] Dit introduceert een "extra" coördinaat, omdat er slechts twee nodig zijn om een ​​punt op het vlak te specificeren, maar dit systeem is nuttig omdat het elk punt op de projectief vliegtuig zonder het gebruik van oneindigheid. Over het algemeen is een homogeen coördinatensysteem er een waarbij alleen de verhoudingen van de coördinaten significant zijn en niet de werkelijke waarden.

Andere veelgebruikte systemen

Sommige andere veel voorkomende coördinatensystemen zijn de volgende:

Er zijn manieren om krommen te beschrijven zonder coördinaten, gebruiken Intrinsieke vergelijkingen die invariante hoeveelheden gebruiken, zoals kromming en boog lengte. Waaronder:

Coördinaten van geometrische objecten

Coördinaten systemen worden vaak gebruikt om de positie van een punt te specificeren, maar ze kunnen ook worden gebruikt om de positie van meer complexe figuren, zoals lijnen, vlakken, te specificeren, cirkels of bollen. Bijvoorbeeld, Plücker -coördinaten worden gebruikt om de positie van een lijn in de ruimte te bepalen.[10] Wanneer er behoefte is, wordt het type figuur dat wordt beschreven gebruikt om het type coördinatensysteem te onderscheiden, bijvoorbeeld de term Lijncoördinaten wordt gebruikt voor elk coördinatensysteem dat de positie van een lijn specificeert.

Het kan optreden dat systemen van coördinaten voor twee verschillende sets geometrische figuren equivalent zijn in termen van hun analyse. Een voorbeeld hiervan zijn de systemen van homogene coördinaten voor punten en lijnen in het projectieve vlak. De twee systemen in een geval als deze zouden zijn dualistisch. Dualistische systemen hebben de eigenschap die resultaten van het ene systeem naar het andere kan worden overgedragen, omdat deze resultaten slechts verschillende interpretaties zijn van hetzelfde analytische resultaat; Dit staat bekend als de principe van dualiteit.[11]

Transformaties

Zie ook: Actieve en passieve transformatie
Hoofd artikel: Lijst met gemeenschappelijke coördinaattransformaties

Er zijn vaak veel verschillende mogelijke coördinatensystemen voor het beschrijven van geometrische figuren. De relatie tussen verschillende systemen wordt beschreven door Coördineer transformaties, die formules geven voor de coördinaten in het ene systeem in termen van de coördinaten in een ander systeem. Bijvoorbeeld, in het vlak, als Cartesiaanse coördinaten (x,,y) en polaire coördinaten (r,,θ) hebben dezelfde oorsprong en de polaire as is het positieve x as, dan wordt de coördinaattransformatie van polaire naar cartesiaanse coördinaten gegeven door x=rzomaarθ en y=rzondeθ.

Met elke buik Van de ruimte tot zichzelf kunnen twee coördinaattransformaties worden geassocieerd:

  • Zodanig dat de nieuwe coördinaten van het beeld van elk punt hetzelfde zijn als de oude coördinaten van het oorspronkelijke punt (de formules voor de mapping zijn het omgekeerde van die voor de coördinaattransformatie)
  • Zodanig dat de oude coördinaten van het beeld van elk punt hetzelfde zijn als de nieuwe coördinaten van het oorspronkelijke punt (de formules voor de mapping zijn dezelfde als die voor de coördinaattransformatie)

Bijvoorbeeld in 1D, als de mapping een vertaling is van 3 naar rechts, verplaatst de eerste de oorsprong van 0 naar 3, zodat de coördinaat van elk punt 3 minder wordt, terwijl de tweede de oorsprong verplaatst van 0 naar −3, zodat de coördinaat van elk punt wordt er nog 3.

Coördineren lijnen/curven en vliegtuigen/oppervlakken

"Coördinaatlijn" leidt hier om. Om niet te worden verward met Lijncoördinaten.
"Coördinaat vlak" leidt hier om. Om niet te worden verward met Vliegtuigcoördineert.

In twee dimensies, als een van de coördinaten in een puntcoördinatensysteem constant wordt gehouden en de andere coördinaat mag variëren, dan wordt de resulterende curve een genoemd Coördinatiecurve. Als de coördinaatcurves in feite zijn rechte lijnen, ze kunnen worden gebeld Coördineren lijnen. In Cartesiaanse coördinatensystemen zijn coördinaten lijnen onderling orthogonaal en staan ​​bekend als Coördinaatassen. Voor andere coördinatensystemen kunnen de coördinatencurves algemene curven zijn. Bijvoorbeeld, de coördinaatcurves in polaire coördinaten verkregen door vasthouden r Constant zijn de cirkels met het midden van de oorsprong. Een coördinatensysteem waarvoor sommige coördinaatcurves geen lijnen zijn, worden een genoemd Curvilineair coördinatensysteem.[12] Deze procedure is niet altijd logisch, er zijn bijvoorbeeld geen coördinaatcurves in een Homogeen coördinatensysteem.

Coördinaten oppervlakken van de driedimensionale paraboloïdale coördinaten.

In driedimensionale ruimte, als de ene coördinaat constant wordt gehouden en de andere twee mogen variëren, dan wordt het resulterende oppervlak een het oppervlak coördineren. De coördinaatoppervlakken zijn bijvoorbeeld verkregen door vast te houden ρ constant in de Sferisch coördinatensysteem zijn de bollen met het midden van de oorsprong. In driedimensionale ruimte is de kruising van twee coördinatenoppervlakken een coördinaatcurve. In het Cartesiaanse coördinatensysteem kunnen we spreken Coördineren vliegtuigen.

Evenzo, Hypersurfaces coördineren zijn de (n - 1)-Dimensionale ruimtes als gevolg van het fixeren van een enkele coördinaat van een n-Dimensionaal coördinatensysteem.[13]

Coördineren kaarten

Hoofd artikel: Coördinaatkaart
Verdere informatie: Verdeelstuk

Het concept van een Coördinaatkaart, of coördinaatgrafiek staat centraal in de theorie van verdeelstukken. Een coördinaatkaart is in wezen een coördinatensysteem voor een subset van een bepaalde ruimte met de eigenschap dat elk punt precies één set coördinaten heeft. Meer precies, een coördinaatkaart is een Homeomorfisme Van een open subset van een ruimte X naar een open subset van Rn.[14] Het is vaak niet mogelijk om één consistent coördinatensysteem voor een hele ruimte te bieden. In dit geval wordt een verzameling coördinaatkaarten samengesteld om een atlas de ruimte bedekken. Een ruimte uitgerust met zo'n atlas wordt een genoemd verdeelstuk en extra structuur kan op een verdeelstuk worden gedefinieerd als de structuur consistent is wanneer de coördinatenkaarten overlappen. Bijvoorbeeld een Differentabel verdeelstuk is een verdeelstuk waarbij de verandering van coördinaten van de ene coördinaatkaart naar de andere altijd een onderscheidende functie is.

Op oriëntatie gebaseerde coördinaten

In geometrie en kinematica, coördinatensystemen worden gebruikt om de (lineaire) positie van punten en de hoekige positie van assen, vliegtuigen en rigide lichamen.[15] In het laatste geval wordt de oriëntatie van een tweede (meestal aangeduid als "lokaal") coördinatensysteem, vastgesteld aan het knooppunt, gedefinieerd op basis van het eerste (meestal aangeduid als "globaal" of "wereld" coördinatensysteem). De oriëntatie van een rigide lichaam kan bijvoorbeeld worden weergegeven door een oriëntatie Matrix, die in zijn drie kolommen omvat, de Cartesiaanse coördinaten van drie punten. Deze punten worden gebruikt om de oriëntatie van de assen van het lokale systeem te definiëren; Ze zijn de tips van drie eenheidsvectoren uitgelijnd met die assen.

Geografische systemen

Hoofd artikel: Ruimtelijk referentiesysteem

De aarde als geheel is een van de meest voorkomende geometrische ruimtes die de precieze meting van de locatie vereisen en dus systemen coördineren. Beginnend met de Grieken van de Hellenistische periode, er zijn verschillende coördinatensystemen ontwikkeld op basis van de bovenstaande typen, waaronder:

Zie ook

Relativistische coördinatensystemen

Referenties

Citaten

  1. ^ Woods p. 1
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Coördinatie systeem". Wiskunde.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Coördineert". Wiskunde.
  4. ^ Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College algebra (5e ed.). Brooks Cole. pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
  5. ^ Moon P, Spencer DE (1988). "Rechthoekige coördinaten (x, y, z)". Veldtheoriehandboek, inclusief coördinatensystemen, differentiaalvergelijkingen en hun oplossingen (Gecorrigeerd 2e, 3e print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 9–11 (tabel 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
  6. ^ Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (juni 1994). Calculus: grafisch, numeriek, algebraïsch (Enkele variabele versie ed.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.
  7. ^ Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). De wiskunde van natuurkunde en scheikunde. New York City: D. Van Nostrand. p.178. ISBN 978-0-88275-423-9. Lccn 55010911. Oclc 3017486.
  8. ^ Morse PM, Feshbach h (1953). Methoden van theoretische fysica, deel I. New York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN 0-07-043316-X. Lccn 52011515.
  9. ^ Jones, Alfred Clement (1912). Een inleiding tot algebraïstische geometrie. Clarendon.
  10. ^ Hodge, W.V.D.; D. pedoe (1994) [1947]. Methoden van algebraïsche geometrie, Volume I (boek II). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46900-5.
  11. ^ Woods p. 2
  12. ^ Tang, K. T. (2006). Wiskundige methoden voor ingenieurs en wetenschappers. Vol. 2. Springer. p. 13. ISBN 3-540-30268-9.
  13. ^ Liseikin, Vladimir D. (2007). Een computationele differentiële geometrie -benadering van het genereren van rasters. Springer. p. 38. ISBN 978-3-540-34235-9.
  14. ^ Munkres, James R. (2000) Topologie. Prentice Hall. ISBN0-13-181629-2.
  15. ^ Hanspeter Schaub; John L. Junkins (2003). "Rigide lichaamskinematica". Analytische mechanica van ruimtesystemen. American Institute of Aeronautics and Astronautics. p. 71. ISBN 1-56347-563-4.

Bronnen

Externe links